数学趣题——染色问题

本章将举出一些染色问题的例子，通过对解题方法的探索，提高同学们思考问题的能力，培养逻辑思维。

六年级一班全班有35 名同学，共分成5 排，每排7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这35 名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？

方法点拨

划一个5×7 的方格表，其中每一个方格表示一个座位，将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格，但实际上图中有17 个黑格，18 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

❶ 如图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？

❷ 右图是某套房子的平面图，共12 个房间，每相邻两个房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？

下图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

方法点拨

先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22 个○和23 个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

❶ 一只电动老鼠从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82 次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？

❷ 如右图，在5×5 方格的A 格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中，那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A 格中？

一个由14 个大小相同的方格组成的图形如图所示，问：能不能剪裁成7 个由相邻两方格组成的长方形？

方法点拨

将这14 个小方格黑白相间染色，有8 个黑格，6 个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7 个小长方形，那么14 个格应当是黑、白各7 个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7 个由相邻两个方格组成的长方形。(www.xing528.com)

❶ 有6 张连着的电影票，如图所示。想撕成相连的3 张，共有______种不同的撕法。

❷ 一个由40 个小正方形组成的图形如图所示，问：能否将它剪裁成20个相同的长方形？

用9 个4 格的长方形能否拼成一个6×6 的正方形？请说明理由。

方法点拨

本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用1×4 来覆盖，我们对6×6 正方形用四种颜色染色。为了方便起见，这里用1、2、3、4 分别代表四种颜色。为了使每个1×4 长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图，这样，可以发现无论将1×4 长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4 各一个。要不重叠地拼出6×6，需9 个1×4 长方形，则必然盖住1、2、3、4 各9 个，但实际上图中一共是9 个1、10 个2、9 个3、8 个4，因而不可能用9 个1×4 长方形拼出6×6的正方形。

❶ 能否用9 张卡片拼成一个6×6 的棋盘？

❷ 如图，缺两格的8×8 方格有62 个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？

有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是1×2×4。现有一批现成的木箱，内空尺寸是6×6×6。问：为什么不能用这些商品将木箱装满？

方法点拨

每件1×2×4 的商品必占4 个白的小立方体和4 个黑的小立方体。在整个大正方体中，2×2×2 的黑正方体共有5+4+5=14（个）。故1×1×1 的黑正方体共：14×2×2×2=112（个），白正方体共：6×6×6-112=104（个）。可见，1×1×1的小立方体黑白总数不等，而每件1×2×4 的商品能占的黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙。

❶ 1 个2×2 正方形和15 个4×1 长方形能不能拼出8×8 的大正方形？请说明理由。

❷ 用若干个2×2 和3×3 的小正方形能不能拼成一个11×11 的大正方形？请说明理由。