在解决代数问题的时候，经常需要运用数的奇偶性质。通常偶数可以用2k（k 为整数）表示，奇数则可以用（2k+1）（k 为整数）表示。本章主要介绍数论中奇数、偶数运算的性质的概念，旨在提高同学们对数学的严密分析能力，培养“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
1+2+3+…+1993 的计算结果是奇数还是偶数？
方法点拨
解：在1～1993 中，共有1993 个连续自然数，其中997 个奇数，996 个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数。
说明：奇数个奇数相加是奇数；奇数个偶数相加是偶数；偶数个奇数相加是偶数；偶数个偶数相加是偶数。
❶ 29+30+31+…+80 的计算结果是奇数还是偶数？
❷（200+201+202+…+288）-（151+152+…+233）的计算结果是奇数还是偶数？
1+2×3+4×5+…+98×99 的计算结果是奇数还是偶数？
方法点拨
解：在这个算式中，所有乘法运算都是奇数×偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1 是奇数，又因为奇数+偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数。
说明：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。
❶ 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1 的计算结果是奇数还是偶数？
❷ 东东在做算术题时，写出了一个等式：1038=13×75+64，他做得对吗？
是否存在自然数a 和b，使得ab（a+b）=115？
方法点拨
解：不存在。
当a 和b 同为奇数时，ab 为奇数，a+b 是偶数，由奇数×偶数=偶数可知不成立；(www.xing528.com)
当a 和b 同为偶数时，ab 为偶数，a+b 是偶数，由偶数×偶数=偶数可知不成立；
当a 和b 一奇一偶时，ab 为偶数，a+b 是奇数，由偶数×奇数=偶数可知不成立。
说明：此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2 个自然数在奇偶性的组合上只有3 种情况：2 奇0 偶，1 奇1 偶，0 奇2 偶。
❶ 是否存在自然数a，b，c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=45327？
❷ a，b，c 三个自然数的和与它们的积的和均为奇数。问：这三个数中最多可以有几个奇数？
桌子上有6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5 只杯子。问：能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
方法点拨
解：杯子要翻过来得翻奇数次，6 个杯子都要翻过来，则总共需要翻动偶数次杯子；按规定每次同时翻动5 只杯子，因为5 是奇数，由奇数×偶数=偶数可知，要想翻动总次数也是偶数，需要将5 只杯子翻动偶数次。因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下。
说明：在遇到数论的应用题时，尽快分析题目考核的知识点是否是奇偶性质。
❶ 桌子上有5 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4 个。问：能否经过若干次翻动，使得5 个杯子的开口全都向下？
❷ 桌子上有6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4 只杯子。问：能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
圆桌旁坐着2k 个人，其中有k 个物理学家和k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话。已知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多。又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家。”那么如何证明：k 为偶数？
方法点拨
解：由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有a 个物理学家说谎，同时也会有a 个化学家说谎。所以总共有2a 个人说谎。而最后发现有k 个物理学家的身份被说谎的人改变了，说明有k 个说谎的人，那么k=2a，则说明k 是偶数。
❶ 在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？
❷ 元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
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