本章主要培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力，让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会解决问题。
商店里有2 种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3 种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明想买一些糖送给他的小朋友。
（1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？
（2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1 种，他有几种选法？
方法点拨
解：（1）小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类选法：第一类是从2 种巧克力糖中选一种，有2 种选法；第二类是从3 种水果糖中选一种，有3 种选法。因此，小明有选法：2+3=5（种）。
（2）小明完成这件事要分两步，每步分别有2 种、3 种方法，因此有选法：2×3=6（种）。
❶ 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车。问：从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？
❷ 如果从3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7 个车站，现在新增了3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？
方法点拨
解：（1）新站为起点，旧站为终点有：3×7=21（张）；（2）旧站为起点，新站为终点有：7×3=21（张）；（3）起点、终点均为新站有：3×2=6（张）；以上共有：21+21+6=48（张）。
说明：解答此类题目时，先按加法原理划分情况，再用乘法原理计算每个情况对应的方法种数，最后再相加即可。
❶ 某件工作需要钳工2 人和电工2 人共同完成。现有钳工3 人、电工3 人，另有1 人钳工、电工都会。从7 人中挑选4 人完成这项工作，共有多少种方法？
❷ 某信号兵用红、黄、蓝、绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？
五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号。问：共可以表示多少种不同的信号？
方法点拨
解：分三种情况：
（1）取出一面：可以表示5 种信号；(www.xing528.com)
（2）取出两面：可以表示信号：5×4=20（种）；
（3）取出三面：可以表示信号：5×4×3=60（种）；
由加法原理，一共可以表示信号：5+20+60=85（种）。
❶ 五种颜色不同的信号旗，各有5 面，任意取出三面排成一行，表示一种信号。问：共可以表示多少种不同的信号？
❷ 有四种颜色不同的小旗，其中红旗和黄旗各两面，蓝旗和白旗各三面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号。问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？
用数字0，1，2，3，4 可以组成多少个小于1000 的自然数？
方法点拨
解：小于1000 的自然数有三类。第一类是0 和一位数，有5 个；第二类是两位数，有：4×5=20（个）；第三类是三位数，有：4×5×5=100（个），共有：5+20+100=125（个）。
说明：注意加法原理、乘法原理经常与数论结合，需要好好地体会各种题目中不同条件对数的控制。
❶ 由数字0，1，3，9 可以组成多少个无重复数字的自然数？
❷ 用数字0，1，2，3，4 可以组成多少个小于1000 的没有重复数字的自然数？
在1～10 这10 个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3 的倍数，共有多少种不同的取法？
方法点拨
解：三个不同的数和为3 的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3 整除，余1 余2 余0 的数各有1 个。四类情况分别有：4 种、1 种、 1 种、4×3×3=36（种），所以一共有：4+1+1+36=42（种）。
说明：注意在数论的计数原理中，3 是一个经常出现的数字，原因是可以找到一定的数字规律，例如判断一个数是否能被3 整除。
❶ 在1～100 的自然数中取出两个不同的数相加，使它们的和是3 的倍数，共有多少种不同的取法？
❷ 在1～10 这10 个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3 的倍数，共有多少种不同的取法？
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