新几何学的发现：颠覆几何学的黎曼学说

萨凯里的研究给后人带来了启迪，再次验证了科学史上屡见不鲜的一个现象：既要站在前人的肩膀之上，但又不能受制于前人。

其中应特别提及的是德国数学家、物理学家高斯。他遵循萨凯里的思路，按照情况三推导出了一系列几何学定理。他认为存在一种与欧几里得几何不同的几何学。遗憾的是，高斯没有发表他的研究成果。上述研究是在他去世以后，人们才从他的遗稿中发现的。

真正享有非欧几何创始人荣誉的是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。他同样是遵循萨凯里和高斯的思路，利用与几何相矛盾的平行线公理推导出了一门全新的几何学。他发表了自己的研究成果，并且指出这种新的几何学与欧几里得几何一样是真实存在的。

新几何学也运用了欧几里得几何的其他公理，但也产生了许多与欧几里得几何完全不一样的结论。比如，在欧几里得几何中，三角形的内角和总是等于180°；在新几何学中，三角形的内角和总是小于180°，而且三角形的面积越大，其内角和越小。又如，欧几里得几何中，相似三角形和全等三角形是两个不同的概念；新几何学中，相似的三角形必定全等。

科学界实在还没有做好接受非欧几何的思想准备，哲学家康德提出的“统治知识世界的只能是欧几里得几何”依然是科学界的主流信条。所以，罗巴切夫斯基的研究成果也没有能够引起普遍关注。

直到罗巴切夫斯基发表自己的成果30年后，高斯去世了。人们在高斯的遗稿中发现了几乎同样的研究成果。高斯巨大声望的感召力使得人们不得不注意到这样一项研究。此刻，科学家才回头重新阅读罗巴切夫斯基的论文。于是，非欧几何的概念才终究被人们接受。(www.xing528.com)

罗巴切夫斯基声称新几何学和欧几里得几何一样是“真实存在”的，但它们的提出仍然是一种纯逻辑推演的产物。人们凭借日常生活经验，很容易感受或验证欧几里得几何的“正确性”。然而，新几何学的正确性就不那么显而易见了。

高斯试图以实际测量的方式来验证新几何学。既然按照新几何学，三角形的内角和应该小于180°，如果实际测量的结果证实了这一点，那么新几何学就被确认了。当然，这个三角形的面积必须足够大。因为按照新几何学，三角形的面积越小，它的内角和越接近180°。

高斯选择了三座山峰，在每一个山峰上安排一个测量员，由每位测量员测量自己发出的光线到达其他两位测量员所形成的角度。测量结果是这个三角形的内角和的确小于180°，误差是2分。但这一测量缺乏足够的说明力，因为2分的误差完全可能是一种测量误差。当然，我们今天更加清楚，这个测量的不可靠还在于它隐含了一个前提：光线一定是直线传播的。实际上，光线在传播过程中可能会发生弯曲。

进一步地，数学家发现，即使选择萨凯里假设中的情况二，依然能够推导出一套几何学。作出这一贡献的是德国数学家黎曼。1851年，黎曼发表的论文《论几何学作为基础的假设》中明确提出另一种几何学的存在，即今天被称为黎曼几何的新几何学，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼的工作其实还对欧几里得几何的另一条公理，即“一条直线可以向两端无限延长”，给予了否定。黎曼对“无界”和“无穷”两个概念进行了区分，从而提出“直线是有限的但是无界的”这个公理。在黎曼几何中没有平行线的概念，也就是说，所有的直线都有交点，一条直线不可能和其他直线平行。在黎曼几何中，任何三角形的内角和都大于180°。黎曼几何与罗巴切夫斯基几何统称为非欧几何。