数学总体上是一门抽象的学科，但就数学各领域内部而言，其抽象程度也有差异。比如，代数学就比几何学的抽象程度要高。一般说来，人们看着一个正方形就很容易联想起一张桌子，但看见数字4时会联想起什么，结果很难确定。
欧几里得几何的成功更加强化了人们的这种认识。虽然从哲学上说，古希腊人也意识到抽象的或数学的空间不等同于现实的空间，但他们依然认为欧几里得几何是对于现实空间及其性质的正确表述。这一观念延续了两千年，直到18世纪，牛顿的导师、数学家艾萨克·巴罗还坚持认为欧几里得几何具有八个显著的优越性：概念清晰、定义明确、公理直观可靠而且普遍成立、公设清楚可信且易于想象、公理数目少、引出量的方式易于接受、证明顺序自然、避免未知事物。因而，他曾试图把自己的理论，包括微积分都建立在几何学的基础之上。
可喜的是，数学家终究还是理性的。他们对于欧几里得及其几何学并非盲目崇拜。严格地说，自《几何原本》产生不久，数学家都对其中提出的第五公设（又叫平行线公设或平行线公理）产生了疑问。5世纪，数学家普罗克洛斯给欧几里得的《几何原本》作评注，写了一本《几何学发展概要》（常称为《普罗克洛斯概要》），其中对第五公设的评价如下：“这个公理完全应该从全部公理中剔除出去，因为它是一个包含许多困难的定理。”
疑问的第一个来源就是欧几里得对第五公设的表述：“若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”这种表述方法非常别扭，而且远不如其他公理、公设那样一目了然。公理应该是简单明了、不证自明的。
数学家认为，欧几里得之所以采用这样别扭的表述，是因为不想直接说出“两条平行线无论怎么延长都不相交”这样的话，但他终究还是表达了无限直线的思想。然而，这种表述与人们的直接经验不尽相符。
人类的目力所及，大约不会超过几公里的范围，所以对于无限，确实是人类目力所不能及的。凭借日常经验，人们更可能感觉到的是眼前没有相交的两条直线，到一定的远处之后，似乎真的交合了。
无限的认识是一个非常让人为难的问题。从经验来看，人对事物的认识总是受到种种制约，因而不可能认识无限。但从思维的角度看，人们又总是希望认识无限。无论是古希腊的哲学家或数学家，都在试图从无限的角度阐述自己的理论。然而，具体到第五公设上，这样两个问题是数学家所关注的：其一，直线无限延长后是否仍然是直线（这其实已经在质疑欧几里得的第二公设）；其二，两条平行线无限延长后是否一定不相交。
在《几何原本》中，欧几里得是在证明所有不需要第五公设来证明的定理之后，才“不得已”引进第五公设证明定理的。所以许多数学家都致力于对第五公设加以改进。其改进的思路有二：其一，利用其他公设来证明第五公设，从而使第五公设成为一条定理；其二，用一条更简单明了的公设代替第五公设。
关于思路一，更多数学家致力于这项工作，最后结果依然不能让人满意。因为人们发现，这些所谓的证明，或者是隐含地假设了一些不应该假设的东西（也就是说，这些假设依然是需要证明的），或者是暗藏了一个和第五公设一样有问题的公设。(www.xing528.com)
关于思路二，最典型的就是我们今天的几何学教科书上采用的“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，但这一公设依然不符合数学家对公设的要求。
进入19世纪，第五公设依然作为一个几何学的瑕疵困扰着数学家。在这个过程中，比萨大学数学教授萨凯里综合了两条思路，提出了一个新奇的想法：通过逻辑上的反证法来证明第五公设。
萨凯里的思路是这样的：假设在同一个平面上有一条直线L和直线外的一点P，通过P点作L的平行线，那么将会出现以下三种情况。
情况一，可以而且只能作一条平行线与L平行。
情况二，不可以作出直线与L平行。
情况三，可以作出无数条平行线与L平行。
如果是情况一，那么就是欧几里得几何的情况。证明了这一假设，相当于证明了第五公设。如果是其他两种情况，那么通过这样的假设再结合其他公理来推导几何学的所有定理，如果能够推导出矛盾的几何学定理，就证明这些假设是错误的，只有情况一是正确的。这就反证了第五公设的正确。
事实是，萨凯里根据情况二确实推导出了相互矛盾的定理，但根据情况三，并没有推出相互矛盾的公理。萨凯里已经站在非欧几何的门口。然而，由于对欧几里得几何的崇拜，他对自己的发现视而不见。甚至，他在出版自己的研究成果时，还将这本书起名为《无懈可击的欧几里得》。萨凯里终究未能敲开非欧几何的大门。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
