1.F分布概率密度函数
数理统计学中,除了对单子样正态分布的母体平均值μ和母体标准差σ是否为某一定值进行统计检验外,还需对两个子样的母体均值是否相同(即μ1=μ2)、母体标准差是否相同(即σ1=σ2)进行检验。前面已介绍了应用t分布对μ1=μ2的检验,现在介绍对σ1=σ2的检验原理。需要说明的是,只有通过了对σ1=σ2的检验,才可应用t分布进行μ1=μ2的统计检验。
一般利用F分布来检验“两个服从正态分布的子样是否来自标准差相同的两个母体”,即检验两个母体标准差σ1和σ2是否相等。这里简要介绍F分布的分布规律和检验原理。F分布的概率密度函数p(F)为
图4-10 χ2分布在给定显著度α下的接受区间
ν1、ν2——F分布的两个母体参数,分别称为“分子自由度”和“分母自由度”;
Г(α)——Г函数,可由Г函数表查值得到。
F分布的概率密度曲线如图4-11所示。
图4-11 F分布的概率密度曲线(www.xing528.com)
2.F分布检验两个正态分布子样的母体标准差是否相同
对于两个子样,第一个子样服从正态分布N(μ1;σ1)且大小为n1,第二个子样服从正态分布N(μ2;σ2)且大小为n2。可以证明式(4-28)中的F变量服从F分布,且对应的自由度分别为ν1=n1-1、ν2=n2-1。
式中 s1、s2——两个正态分布的子样标准差;
σ1、σ2——两个正态分布的母体标准差。
现做统计假定:“两个子样所服从的两个正态分布母体标准差相同,即σ1=σ2”,则式(4-28)可简化为
可利用式(4-29)的F变量对σ1=σ2进行双侧统计检验。检验时,首先将两个正态分布的子样标准差s1和s2代入式(4-29)中,计算得到F值。然后在给定显著度α和自由度ν1=n1-1、ν2=n2-1的条件下,查阅F分布数值表,从而得到图4-12所示的接受区间(a,b)。如果计算的F值在此区间内,则接受两个正态分布的母体标准差σ1=σ2的假定;否则,则不接受σ1=σ2的假定。
图4-12 F分布在给定显著度α下的接受区间
当统计假定σ1=σ2成立时,s1和s2之间的差异纯属偶然误差所致。因此,s1和s2应相差无几,F值也必将在1左右偏摆。当σ1和σ2存在显著差异时,F值将远大于1或远小于1,从而落在接受区间以外。为了制表的方便,一般F分布数值表只给出接受区间的上限Fα/2(即图4-12中的b点)。因此,在计算F值时,约定子样方差数值较大的作为分子,较小的作为分母。这样,进行显著性检验时,用计算得到的恒大于1的F值与数值表给出的上限值Fα/2互相比较即可。若F>Fα/2,则拒绝假设;若F<Fα/2,则接受假设。
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。