航空材料力学性能检测：χ2分布的应用

1.χ²分布概率密度函数

如上所述，利用t分布可以对正态分布的母体平均值μ进行统计检验，那么对于正态分布的母体标准差σ又该如何统计检验呢？数理统计学中，一般利用χ²分布来检验正态分布母体标准差σ。这里简要介绍χ²分布的分布规律和检验原理。χ²分布的概率密度函数f（x）为

式中 x——χ²分布的随机变量；

ν——χ²分布的母体参数，称为“自由度”；

Г（α）——Г函数，可由Г函数表查值得到。

χ²分布的概率密度曲线如图4-9所示。由图4-9可见，χ²分布的概率密度曲线以横坐标轴为渐近线，且随着ν的逐渐增大曲线接近于对称形式。

图4-9 χ²分布的概率密度曲线(www.xing528.com)

2.χ²分布检验一个正态分布子样的母体标准差是否等于某值

对于一个大小为n且服从正态分布N（μ；σ）的子样，可以证明：（n-1）s²/σ²服从χ²分布，且对应的自由度ν=n-1。可令χ²变量为

式中 s——正态分布的子样标准差；

n——子样大小；

σ——正态分布的母体标准差。

可利用χ²变量与正态分布的母体标准差σ的关系[即式（4-26）]对σ进行统计检验。假定正态分布母体标准差为某一定值σ₀，但此假定是否能够让人信服（即有足够的置信度），则需进行双侧统计检验。检验时，将假定的正态分布母体标准差σ₀、子样特征值s和子样大小n代入式（4-26）中，计算得到χ²₀值。然后在给定显著度α和自由度ν=n-1的条件下，查阅χ²分布数值表，就可确定图4-10所示的接受区间，如果计算的χ²₀值在此区间内，则可接受正态分布的母体标准差σ=σ₀的假定；否则，则不接受σ=σ₀的假定。