威布尔分布及其应用 | 航空材料力学性能检测

1.威布尔分布概率密度函数

在可靠性领域，威布尔分布得到了广泛应用。威布尔分布的优点在于存在有最小安全寿命，即100%可靠度的安全寿命。按照正态分布理论，只有当对数安全寿命x_p=lgN_p趋于-∞时（即N_p=0时），可靠度才等于100%。显然，这是不符合实际情况的（事实上，构件存在一个最小安全寿命使其对应的可靠度趋近于100%），这也是采用正态分布处理此类问题的理论不足之处。此时，如采用威布尔分布理论，则在极高可靠度范围（99.99%～100%）内给出的安全寿命（或最小安全寿命）是比较符合实际情况的。

另外，正态分布适用于中、短寿命区的情况，而威布尔分布则不仅限于此。对于疲劳寿命大于10⁶次循环的长寿命区，众多试验结果也近似符合威布尔分布，从而能得到长寿命区的安全寿命。但由于威布尔概率密度函数的数学形式较繁，这使得它在统计应用中受到一些限制。

研究表明，在恒定幅值的循环载荷作用下，各试件疲劳寿命N为一随机变量，且N服从威布尔分布，则N的威布尔概率密度函数可写为

式中 N₀——最小寿命参数；

N_a——特征寿命参数；

b——威布尔形状参数（斜率参数）。

由此可见，威布尔概率密度函数中含有三个待定参数（在正态分布中只有两个，即μ和σ），因此能更完善地拟合试验数据点。

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图4-6 威布尔分布的概率密度曲线

威布尔分布的概率密度曲线如图4-6所示。由图4-6可见，当b=1时，f（N）为一简单的指数概率密度函数。当b=2时，f（N）称为瑞利概率密度函数。当b=3～4时，接近正态概率密度函数。曲线高峰通常偏斜向左，偏斜程度随b而变化。对于b＞1的情况，当N=N₀时曲线与横坐标轴相交，存在有大于零的最小寿命值N₀。差值（N_a-N₀）越大，曲线外形越扁平，分散性越大。曲线右端延伸至无限远处，以横坐标轴为渐近线。

2.威布尔分布的参数估计

威布尔分布的三个母体参数（N₀，N_a，b）的估计量的符号分别记为、、。由一致性要求和无偏性要求推导（推导过程略）得到、、满足以下四式：

式中 、s、M_e——子样平均值、子样标准差和子样中值；

Г（α）——Г函数，可由Г函数表查值得到。

由此可见，只要将子样特征值、s、M_e代入以上四式，再联合求解，即可得到威布尔母体参数的三个估计量（、、）。