随机变量和概率密度函数

随机变量X就是随偶然因素而改变的量，并可以具体化为各个子样值。例如，获得一组圆盘直径的观测值（100，101，102）mm，由于生产或测量等偶然因素，导致圆盘直径为一个随机变量X，在此，X取100mm、101mm、102mm，或取其他数值，都由某些偶然因素决定。要深入了解一个随机变量，必须考虑以下两个问题：

1）随机变量的变化范围，即随机变量的取值范围。

2）随机变量以怎样的概率取得某一数值，即X具体化为某个数值的概率是多少。

要了解随机变量取值的规律，必须建立它的概率密度函数。概率密度函数f（x）是描述随机变量X取某个数值的概率密度的函数。例如，当X=x_C时，对应的概率密度为f（x_C）。概率密度函数f（x）具体函数形式的提出依赖于试验频率曲线。试验频率曲线一般是通过大量的重复性试验获得的，该曲线能够描述随机变量X取得某一数值时的概率密度大小。例如，射击打靶100次，打中靶心80次，打中靶面内环15次，打中靶面外环5次。此处，打中位置为一个随机变量X。当X取为靶心位置时，其对应的概率密度f（靶心位置）=80/100=0.8。以此类推，即可得到X取各观测值时的各自的概率密度值，将这些值画入以随机变量为横轴、概率密度为纵轴的二维坐标系中且连成一条曲线，此曲线即为试验频率曲线。

获得试验频率曲线后，选用适当的函数进行拟合，此函数即为概率密度函数f（x）。目前已知的概率密度函数均为经验函数。式（4-6）给出了常用的正态分布的概率密度函数表达式，其对应的曲线形式如图4-1所示。

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图4-1 正态分布的概率密度曲线

一般来说，不同分布的概率密度函数彼此各异，对应的概率密度曲线也各不相同，但这些曲线却具有如下的一些共同特性：

1）曲线纵坐标恒为非负值。

2）在曲线中部至少存在一个高峰。

3）曲线两端向左右延伸，直至纵坐标等于零或趋近于零。

4）曲线与横坐标轴所包围的面积等于1。