相关布朗运动的最小破产概率：基于极限理论的研究

根据前面的讨论，在相关布朗运动的前提下，破产概率函数ψ(x)则满足下列哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程:

下面求解带有边界条件(4.53)的方程(4.52)的解及其相应的值函数。

首先给出下面定理，该定理在求解式(4.52)和式(4.53)中起着重要的作用。

定理4.4设ψ(x)如式(4.21)，则

下面求解带有边界条件(4.53)的方程(4.52)的解及其相应的值函数。

首先给出下面定理，该定理在求解式(4.52)和式(4.53)中起着重要的作用。

定理4.4设ψ(x)如式(4.21)，则

下面求解带有边界条件(4.53)的方程(4.52)的解及其相应的值函数。

首先给出下面定理，该定理在求解式(4.52)和式(4.53)中起着重要的作用。

定理4.4设ψ(x)如式(4.21)，则

相应的最优决策α*

相应的最优决策α*

相应的最优决策α*

注意，当ηaσ＜bρ(r1-r0)时，有q0(x)＜1和l0(x)＞0。若q0(x)≥0，则q*(x)与q0(x)一致，当l0(x)≤1时，则l*(x)与l0(x)形式一致；当q0(x)＜0时，令q*(x)＝0，同理，当0＜l0(x)＜1时，令l*(x)与一致l0(x)，当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。注意，当ηaσ＞bρ(r1-r0)时，q0(x)＞1，此情形下，令q*(x)＝1，同理，当1＜l0(x)＜1时，令l*(x)与l0(x)形式一致；当l0(x)＜0时，令l*(x)为0；当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。

上述讨论过程可以总结为下面6个引理，这6个引理在求解方程(4.52)的过程中将被用到。

注意，当ηaσ＜bρ(r1-r0)时，有q0(x)＜1和l0(x)＞0。若q0(x)≥0，则q*(x)与q0(x)一致，当l0(x)≤1时，则l*(x)与l0(x)形式一致；当q0(x)＜0时，令q*(x)＝0，同理，当0＜l0(x)＜1时，令l*(x)与一致l0(x)，当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。注意，当ηaσ＞bρ(r1-r0)时，q0(x)＞1，此情形下，令q*(x)＝1，同理，当1＜l0(x)＜1时，令l*(x)与l0(x)形式一致；当l0(x)＜0时，令l*(x)为0；当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。

上述讨论过程可以总结为下面6个引理，这6个引理在求解方程(4.52)的过程中将被用到。

注意，当ηaσ＜bρ(r1-r0)时，有q0(x)＜1和l0(x)＞0。若q0(x)≥0，则q*(x)与q0(x)一致，当l0(x)≤1时，则l*(x)与l0(x)形式一致；当q0(x)＜0时，令q*(x)＝0，同理，当0＜l0(x)＜1时，令l*(x)与一致l0(x)，当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。注意，当ηaσ＞bρ(r1-r0)时，q0(x)＞1，此情形下，令q*(x)＝1，同理，当1＜l0(x)＜1时，令l*(x)与l0(x)形式一致；当l0(x)＜0时，令l*(x)为0；当l0(x)＞1时，令l*(x)＝1。

上述讨论过程可以总结为下面6个引理，这6个引理在求解方程(4.52)的过程中将被用到。

证明:显然，在集合A2上，式(4.52)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.56)和l0(x)＝1处取得。将它们代入式(4.52)可得式(4.59)的左部。

证明:显然，在集合A2上，式(4.52)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.56)和l0(x)＝1处取得。将它们代入式(4.52)可得式(4.59)的左部。

证明:显然，在集合A2上，式(4.52)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.56)和l0(x)＝1处取得。将它们代入式(4.52)可得式(4.59)的左部。

由于引理4.10～引理4.14的证明过程和引理4.8～引理4.9的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。

下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.53)的式(4.52)的解。

设(q*(x)，l*(x))为式(4.52)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3，A4，A5，A6和A7上求ψ(x)的最小值。当0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1时为引理4.8的情形，与Browne(1995)中的方程(79)的求解方法类似，求解方程(4.58)，得

由于引理4.10～引理4.14的证明过程和引理4.8～引理4.9的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。

下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.53)的式(4.52)的解。

设(q*(x)，l*(x))为式(4.52)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3，A4，A5，A6和A7上求ψ(x)的最小值。当0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1时为引理4.8的情形，与Browne(1995)中的方程(79)的求解方法类似，求解方程(4.58)，得

由于引理4.10～引理4.14的证明过程和引理4.8～引理4.9的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。

下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.53)的式(4.52)的解。

设(q*(x)，l*(x))为式(4.52)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3，A4，A5，A6和A7上求ψ(x)的最小值。当0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1时为引理4.8的情形，与Browne(1995)中的方程(79)的求解方法类似，求解方程(4.58)，得

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.8要求式(4.56)的q0(x)落在区间(0，1)，即

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.8要求式(4.56)的q0(x)落在区间(0，1)，即

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.8要求式(4.56)的q0(x)落在区间(0，1)，即

常数C2将随后被确定，相应的最优决策为

常数C2将随后被确定，相应的最优决策为

常数C2将随后被确定，相应的最优决策为

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数得常数C4随后被确定，相应的最优决策为

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数得常数C4随后被确定，相应的最优决策为

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数得常数C4随后被确定，相应的最优决策为

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数C2得:

常数C1如式(4.75)，常数C2如式(4.76)。当0＜x＜β1时，根据ψ(x)在x＝β1处连续，可确定式(4.71)中的常数C4得(https://www.xing528.com)

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数C2得:

常数C1如式(4.75)，常数C2如式(4.76)。当0＜x＜β1时，根据ψ(x)在x＝β1处连续，可确定式(4.71)中的常数C4得

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.65)中的常数C1和式(4.71)中的常数C2得:

常数C1如式(4.75)，常数C2如式(4.76)。当0＜x＜β1时，根据ψ(x)在x＝β1处连续，可确定式(4.71)中的常数C4得

这里常数C2如式(4.76)，最优决策为

这里常数C2如式(4.76)，最优决策为

这里常数C2如式(4.76)，最优决策为

这里，

这里，

这里，

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.77)中的常数C4，得

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.77)中的常数C4，得

根据ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.77)中的常数C4，得

当(q*(x)＞1，0＜l*(x)＜1)，此时为引理4.12的情形，相应的方程(4.62)的解为

当(q*(x)＞1，0＜l*(x)＜1)，此时为引理4.12的情形，相应的方程(4.62)的解为

当(q*(x)＞1，0＜l*(x)＜1)，此时为引理4.12的情形，相应的方程(4.62)的解为

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.12要求式(4.91)的q0(x)落在区间(0，1)上，即

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.12要求式(4.91)的q0(x)落在区间(0，1)上，即

为了使得ψ满足带有边界条件(4.53)的式(4.52)，引理4.12要求式(4.91)的q0(x)落在区间(0，1)上，即

且式(4.92)中的l0(x)落在区间(0，1)上，这里，bρ(r1-r0)＞ηaσ，当然b(r1-r0)＞ρηaσ，即若2b(r1-r0)(1-ρ2)＞b(r1-r0)-ρηaσ，可得D＞0，则l*(x)＞0，当

且式(4.92)中的l0(x)落在区间(0，1)上，这里，bρ(r1-r0)＞ηaσ，当然b(r1-r0)＞ρηaσ，即若2b(r1-r0)(1-ρ2)＞b(r1-r0)-ρηaσ，可得D＞0，则l*(x)＞0，当

且式(4.92)中的l0(x)落在区间(0，1)上，这里，bρ(r1-r0)＞ηaσ，当然b(r1-r0)＞ρηaσ，即若2b(r1-r0)(1-ρ2)＞b(r1-r0)-ρηaσ，可得D＞0，则l*(x)＞0，当

当β4＜x＜β3时，有q0(x)＞1，0＜l0(x)＜1，此时为引理4.12的情形，当x＜β3时，有q0(x)＞1，l0(x)＞1，此时为引理4.13的情形，相应的方程(4.63)的解为

当β4＜x＜β3时，有q0(x)＞1，0＜l0(x)＜1，此时为引理4.12的情形，当x＜β3时，有q0(x)＞1，l0(x)＞1，此时为引理4.13的情形，相应的方程(4.63)的解为

当β4＜x＜β3时，有q0(x)＞1，0＜l0(x)＜1，此时为引理4.12的情形，当x＜β3时，有q0(x)＞1，l0(x)＞1，此时为引理4.13的情形，相应的方程(4.63)的解为

这里

这里

这里

这里常数C6将随后被确定，相应的最小决策为

这里常数C6将随后被确定，相应的最小决策为

这里常数C6将随后被确定，相应的最小决策为

当bρ(r1-r0)＞ηaσ时，可有b(r1-r0)＞ρηaσ，同样地，当2b(r1-r0)(1-ρ2)＜b(r1-r0)-ρηaσ，有D＜0，则l*(x)＜0，此时为引理4.14的情形，方程(4.64)解为

当bρ(r1-r0)＞ηaσ时，可有b(r1-r0)＞ρηaσ，同样地，当2b(r1-r0)(1-ρ2)＜b(r1-r0)-ρηaσ，有D＜0，则l*(x)＜0，此时为引理4.14的情形，方程(4.64)解为

当bρ(r1-r0)＞ηaσ时，可有b(r1-r0)＞ρηaσ，同样地，当2b(r1-r0)(1-ρ2)＜b(r1-r0)-ρηaσ，有D＜0，则l*(x)＜0，此时为引理4.14的情形，方程(4.64)解为

最优决策为

最优决策为

最优决策为

根据ψ(x)在x＝β4处连续，可确定式(4.89)中的常数C5和式(4.95)中的常数C6得

根据ψ(x)在x＝β4处连续，可确定式(4.89)中的常数C5和式(4.95)中的常数C6得

根据ψ(x)在x＝β4处连续，可确定式(4.89)中的常数C5和式(4.95)中的常数C6得