定义τα＝inf{t:X(t)＜0}为第一次使得保险公司的剩余资金变为负数的时间，设最初剩余资本为x，用ψα(x)＝P(τα＜∞｜X(0)＝x)刻画破产概率，且定义最小破产概率为
我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策α*＝(q*(t)，l*(t))，使得
我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策α*＝(q*(t)，l*(t))，使得
我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策α*＝(q*(t)，l*(t))，使得
且边界条件为
且边界条件为
且边界条件为
接下来求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解及其相应的值函数。首先我们给出下面定理，该定理在求解式(4.22)和式(4.23)中起着重要的作用。
定理4.2设ψ(x)如式(4.21)所示，则
接下来求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解及其相应的值函数。首先我们给出下面定理，该定理在求解式(4.22)和式(4.23)中起着重要的作用。
定理4.2设ψ(x)如式(4.21)所示，则
接下来求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解及其相应的值函数。首先我们给出下面定理，该定理在求解式(4.22)和式(4.23)中起着重要的作用。
定理4.2设ψ(x)如式(4.21)所示，则
相应的最优决策α*为
相应的最优决策α*为
相应的最优决策α*为
注意，q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0，若l0(x)≤1。同理，若0＜l0(x)＜1，则取l*(x)等于l0(x)；若l0(x)＞1，令l*(x)＝1。
上述讨论过程可得下面4个引理，这4个引理将在求解式(4.22)中用到。
注意，q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0，若l0(x)≤1。同理，若0＜l0(x)＜1，则取l*(x)等于l0(x)；若l0(x)＞1，令l*(x)＝1。
上述讨论过程可得下面4个引理，这4个引理将在求解式(4.22)中用到。
注意，q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0，若l0(x)≤1。同理，若0＜l0(x)＜1，则取l*(x)等于l0(x)；若l0(x)＞1，令l*(x)＝1。
上述讨论过程可得下面4个引理，这4个引理将在求解式(4.22)中用到。
证明:显然，在区间A1上，式(4.22)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.26)和l0(x)如式(4.27)处取得。将它们代入式(4.22)，可得式(4.28)的左部。
证明:显然，在区间A1上，式(4.22)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.26)和l0(x)如式(4.27)处取得。将它们代入式(4.22)，可得式(4.28)的左部。
证明:显然，在区间A1上，式(4.22)关于变量q和l的最小值在q0(x)如式(4.26)和l0(x)如式(4.27)处取得。将它们代入式(4.22)，可得式(4.28)的左部。
由于引理4.6和引理4.7的证明过程与引理4.4和引理4.5的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。
下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解。
设(q*(x)，l*(x))为式(4.22)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3和A4中求ψ(x)的最小值。
若0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1，此时为引理4.1的形式，式(4.28)的解如下:
由于引理4.6和引理4.7的证明过程与引理4.4和引理4.5的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。(www.xing528.com)
下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解。
设(q*(x)，l*(x))为式(4.22)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3和A4中求ψ(x)的最小值。
若0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1，此时为引理4.1的形式，式(4.28)的解如下:
由于引理4.6和引理4.7的证明过程与引理4.4和引理4.5的证明过程类似，这里不再给出其证明过程。
下面根据上述4个引理求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解。
设(q*(x)，l*(x))为式(4.22)左端取得最小值的决策。对于(q*(x)，l*(x))，这里有4种可能，即(0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1)，(0＜q*(x)＜1，l*(x)＝1)，(q*(x)＝0，0＜l*(x)＜1)，(q*(x)＝0，l*(x)＝1)。下面在q0(x)和l0(x)上述4种情况下，分别在集合A1，A2，A3和A4中求ψ(x)的最小值。
若0＜q*(x)＜1，0＜l*(x)＜1，此时为引理4.1的形式，式(4.28)的解如下:
为了求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解，引理4.4要求式(4.33)的q0(x)在区间(0，1)上，即
为了求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解，引理4.4要求式(4.33)的q0(x)在区间(0，1)上，即
为了求解带有边界条件(4.23)的式(4.22)的解，引理4.4要求式(4.33)的q0(x)在区间(0，1)上，即
式(4.33)的l0(x)在区间(0，1)，即
式(4.33)的l0(x)在区间(0，1)，即
式(4.33)的l0(x)在区间(0，1)，即
这里，
这里，
这里，
这里常数C2将在随后给出，且最小值函数为
这里常数C2将在随后给出，且最小值函数为
这里常数C2将在随后给出，且最小值函数为
常数C4随后将被确定，最优决策函数为
常数C4随后将被确定，最优决策函数为
常数C4随后将被确定，最优决策函数为
这里常数C2如式(4.20)，且最小决策函数为
这里常数C2如式(4.20)，且最小决策函数为
这里常数C2如式(4.20)，且最小决策函数为
根据函数ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.21)中的常数C4，得
根据函数ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.21)中的常数C4，得
根据函数ψ(x)在x＝β2处连续，可确定式(4.21)中的常数C4，得
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