极限理论研究：最小破产概率及引理

定义τα＝inf{t:X(t)＜0}为第一次使得保险公司的剩余资金变为负数的时间，设最初剩余资本为x，用ψα(x)＝P(τα＜∞｜X(0)＝x)刻画破产概率，且定义最小破产概率为

我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策q*(t)，

我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策q*(t)，

我们的目标是得到最小破产概率ψ(x)及其最优的决策q*(t)，

下面求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解及其相应的值函数。

首先给出以下定理，该定理在求解式(4.5)和式(4.6)中起着重要的作用。

引理4.1定义ψ(x)如式(4.4)，则

下面求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解及其相应的值函数。

首先给出以下定理，该定理在求解式(4.5)和式(4.6)中起着重要的作用。

引理4.1定义ψ(x)如式(4.4)，则

下面求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解及其相应的值函数。

首先给出以下定理，该定理在求解式(4.5)和式(4.6)中起着重要的作用。

引理4.1定义ψ(x)如式(4.4)，则

相应的最优决策q*＝1。

相应的最优决策q*＝1。

相应的最优决策q*＝1。

注意q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0。

上述讨论过程可得下面两个引理，这两个引理将在求解方程(4.5)中用到。

注意q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0。

上述讨论过程可得下面两个引理，这两个引理将在求解方程(4.5)中用到。

注意q0(x)＜1，若q0(x)≥0，则取q*(x)等于q0(x)；若q0(x)＜0，令q*(x)＝0。

上述讨论过程可得下面两个引理，这两个引理将在求解方程(4.5)中用到。

证明:显然，在区间A1上，式(4.5)关于变量q的最小值在q0(x)，如式(4.8)处取得。将它们代入式(4.5)，可得式(4.9)的左部。

证明:显然，在区间A1上，式(4.5)关于变量q的最小值在q0(x)，如式(4.8)处取得。将它们代入式(4.5)，可得式(4.9)的左部。

证明:显然，在区间A1上，式(4.5)关于变量q的最小值在q0(x)，如式(4.8)处取得。将它们代入式(4.5)，可得式(4.9)的左部。(www.xing528.com)

由于引理4.3的证明过程和引理4.2的证明过程类似，这里我们不再给出其证明过程。下面我们根据上述两定理求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解。

设q*(x)为式(4.5)左端取得最小值的决策。对于q*(x)，这里有两种可能，即0＜q*(x)＜1和q*(x)＝0。下面我们在q0(x)上述两种情况下，分别在集合A1，A2中求ψ(x)的最小值。

若0＜q*(x)＜1，此时为引理4.2的形式，式(4.5)的解如下:

由于引理4.3的证明过程和引理4.2的证明过程类似，这里我们不再给出其证明过程。下面我们根据上述两定理求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解。

设q*(x)为式(4.5)左端取得最小值的决策。对于q*(x)，这里有两种可能，即0＜q*(x)＜1和q*(x)＝0。下面我们在q0(x)上述两种情况下，分别在集合A1，A2中求ψ(x)的最小值。

若0＜q*(x)＜1，此时为引理4.2的形式，式(4.5)的解如下:

由于引理4.3的证明过程和引理4.2的证明过程类似，这里我们不再给出其证明过程。下面我们根据上述两定理求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解。

设q*(x)为式(4.5)左端取得最小值的决策。对于q*(x)，这里有两种可能，即0＜q*(x)＜1和q*(x)＝0。下面我们在q0(x)上述两种情况下，分别在集合A1，A2中求ψ(x)的最小值。

若0＜q*(x)＜1，此时为引理4.2的形式，式(4.5)的解如下:

为了求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解，引理4.2要求式(4.8)的q*(x)在区间(0，1)上，即

为了求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解，引理4.2要求式(4.8)的q*(x)在区间(0，1)上，即

为了求解带有边界条件(4.6)的式(4.5)的解，引理4.2要求式(4.8)的q*(x)在区间(0，1)上，即

式(4.10)的解为

式(4.10)的解为

式(4.10)的解为

这里

这里

这里

这里常数C2将在随后给出。

根据函数ψ(x)在x＝β1处连续，下面可确定式(4.11)中的常数C1和式(4.14)中的常数C2，得

这里常数C2将在随后给出。

根据函数ψ(x)在x＝β1处连续，下面可确定式(4.11)中的常数C1和式(4.14)中的常数C2，得

这里常数C2将在随后给出。

根据函数ψ(x)在x＝β1处连续，下面可确定式(4.11)中的常数C1和式(4.14)中的常数C2，得