极限理论下的再保险模型研究成果

下面我们求解带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，假设方程(3.24)的最大值在控制区域的内部达到，即对于所有的(t，x)∈[0，T)×R最优q*(t，x)∈[0，1]，最优l*(t，x)∈[0，1]。式(3.24)分别对q和l求导，令导数为零，得

注意q0(t，x)＜1。如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，如果q0(t，x)≤0，则令q*(t，x)为0。同样地，若l0(t，x)＞0，则l*(t，x)的形式与l0(t，x)一致，如果l0(t，x)＞1，则令l*(t，x)为1。

上述讨论可得下面4个引理，在解决方程(3.24)的过程中将会用到。

引理3.4设A1＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

注意q0(t，x)＜1。如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，如果q0(t，x)≤0，则令q*(t，x)为0。同样地，若l0(t，x)＞0，则l*(t，x)的形式与l0(t，x)一致，如果l0(t，x)＞1，则令l*(t，x)为1。

上述讨论可得下面4个引理，在解决方程(3.24)的过程中将会用到。

引理3.4设A1＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

注意q0(t，x)＜1。如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，如果q0(t，x)≤0，则令q*(t，x)为0。同样地，若l0(t，x)＞0，则l*(t，x)的形式与l0(t，x)一致，如果l0(t，x)＞1，则令l*(t，x)为1。

上述讨论可得下面4个引理，在解决方程(3.24)的过程中将会用到。

引理3.4设A1＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A1上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A1中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)如式(3.27)的情况下取得，将它们代入到方程(3.24)，得方程(3.28)的左端。

引理3.5设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A1上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A1中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)如式(3.27)的情况下取得，将它们代入到方程(3.24)，得方程(3.28)的左端。

引理3.5设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A1上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A1中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)如式(3.27)的情况下取得，将它们代入到方程(3.24)，得方程(3.28)的左端。

引理3.5设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A2上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.4的证明过程类似，显然在A2中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)如式(3.9)处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.29)的左端。

引理3.6设A3＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A2上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.4的证明过程类似，显然在A2中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)如式(3.9)处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.29)的左端。

引理3.6设A3＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A2上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.4的证明过程类似，显然在A2中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)如式(3.9)处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.29)的左端。

引理3.6设A3＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A3上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A3中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.30)的左端。

引理3.7设A4＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A3上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A3中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.30)的左端。

引理3.7设A4＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A3上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:显然在A3中式(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)如式(3.26)，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.30)的左端。

引理3.7设A4＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0，l0(t，x)＞1}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A4上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.6的证明过程相同，显然在A4中方程(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.31)的左端。

下面可利用上面的4个引理来求解带有边界条件(3.25)的方程(3.24)的解，设(q*(t，x)，l*(t，x))为方程(3.7)的左端的最大值，这里有4种可能，即(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)(0＜q*(t，x)＜1，l*(t，x)＞1)，(q*(t，x)＜0，l*(t，x)＞1)。

如果(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.26)中q0(t，x)的形式相同，且l*(t，x)的形式与式(3.27)中l0(t，x)的形式相同。将它们代入方程(3.24)的左端，得方程(3.28)，与Browne(1995)中式(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A4上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.6的证明过程相同，显然在A4中方程(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.31)的左端。

下面可利用上面的4个引理来求解带有边界条件(3.25)的方程(3.24)的解，设(q*(t，x)，l*(t，x))为方程(3.7)的左端的最大值，这里有4种可能，即(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)(0＜q*(t，x)＜1，l*(t，x)＞1)，(q*(t，x)＜0，l*(t，x)＞1)。

如果(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.26)中q0(t，x)的形式相同，且l*(t，x)的形式与式(3.27)中l0(t，x)的形式相同。将它们代入方程(3.24)的左端，得方程(3.28)，与Browne(1995)中式(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:(www.xing528.com)

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A4上满足带有边界条件(3.25)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.24)。

证明:与引理3.6的证明过程相同，显然在A4中方程(3.24)关于q和l的最大值在q0(t，x)＝0，l0(t，x)＝1处取得，将它们代入方程(3.24)，得方程(3.31)的左端。

下面可利用上面的4个引理来求解带有边界条件(3.25)的方程(3.24)的解，设(q*(t，x)，l*(t，x))为方程(3.7)的左端的最大值，这里有4种可能，即(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)(0＜q*(t，x)＜1，l*(t，x)＞1)，(q*(t，x)＜0，l*(t，x)＞1)。

如果(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)，前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.26)中q0(t，x)的形式相同，且l*(t，x)的形式与式(3.27)中l0(t，x)的形式相同。将它们代入方程(3.24)的左端，得方程(3.28)，与Browne(1995)中式(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:

这里h(x)为使得式(3.32)满足方程(3.28)的合适的函数，将式(3.32)代入方程(3.28)得

这里h(x)为使得式(3.32)满足方程(3.28)的合适的函数，将式(3.32)代入方程(3.28)得

这里h(x)为使得式(3.32)满足方程(3.28)的合适的函数，将式(3.32)代入方程(3.28)得

积分，得

积分，得

积分，得

这里

这里

这里

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.28)的解

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.28)的解

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.28)的解

根据式(3.26)、式(3.27)和式(3.34)，显然

根据式(3.26)、式(3.27)和式(3.34)，显然

根据式(3.26)、式(3.27)和式(3.34)，显然

由于x表示保险人的资金，可假设x≥M，M为一正数，是合理的。根据式(3.35)中q*(t，x)和l*(t，x)的形式，得

由于x表示保险人的资金，可假设x≥M，M为一正数，是合理的。根据式(3.35)中q*(t，x)和l*(t，x)的形式，得

由于x表示保险人的资金，可假设x≥M，M为一正数，是合理的。根据式(3.35)中q*(t，x)和l*(t，x)的形式，得

最后，需要验证引理3.4中的条件0＜q0(t，x)＜1和0＜l0(t，x)＜1满足的条件，根据式(3.35)和式(3.37)，可得

最后，需要验证引理3.4中的条件0＜q0(t，x)＜1和0＜l0(t，x)＜1满足的条件，根据式(3.35)和式(3.37)，可得

最后，需要验证引理3.4中的条件0＜q0(t，x)＜1和0＜l0(t，x)＜1满足的条件，根据式(3.35)和式(3.37)，可得

此外，在[0，T)×R上，情形(I)中，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，得k＝0。对于情形(II)，(III)，(IV)，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，k将在后面被确定。

第二种情形(q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1)，根据引理3.5，方程(3.24)的解通过式(3.29)求得，再次应用Browne(1995)中的方法，得解为

此外，在[0，T)×R上，情形(I)中，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，得k＝0。对于情形(II)，(III)，(IV)，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，k将在后面被确定。

第二种情形(q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1)，根据引理3.5，方程(3.24)的解通过式(3.29)求得，再次应用Browne(1995)中的方法，得解为

此外，在[0，T)×R上，情形(I)中，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，得k＝0。对于情形(II)，(III)，(IV)，式(3.34)中的V满足带有边界条件(3.25)的方程(3.24)，k将在后面被确定。

第二种情形(q0(t，x)＜0，0＜l0(t，x)＜1)，根据引理3.5，方程(3.24)的解通过式(3.29)求得，再次应用Browne(1995)中的方法，得解为

这里，

这里，

这里，

则根据式(3.26)、式(3.27)以及式(3.34)中的V，得最优决策为

则根据式(3.26)、式(3.27)以及式(3.34)中的V，得最优决策为

则根据式(3.26)、式(3.27)以及式(3.34)中的V，得最优决策为

根据式(3.35)，得

根据式(3.35)，得

根据式(3.35)，得

此外，r0是无风险市场的期望收益率，r1为风险市场的期望收益率，一般地，0＜r0，r1＜1。因式(3.40)中的情形(II)和情形(IV)不存在，则式(3.43)中的情形(II)和情形(IV)不存在。根据式(3.39)知，在指数效用方程(3.23)下l0(t，x)不会大于1。所以，我们可以简化一下计算，即在指数效用方程(3.23)下，只需要考虑情形(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)和(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)。

此外，r0是无风险市场的期望收益率，r1为风险市场的期望收益率，一般地，0＜r0，r1＜1。因式(3.40)中的情形(II)和情形(IV)不存在，则式(3.43)中的情形(II)和情形(IV)不存在。根据式(3.39)知，在指数效用方程(3.23)下l0(t，x)不会大于1。所以，我们可以简化一下计算，即在指数效用方程(3.23)下，只需要考虑情形(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)和(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)。

此外，r0是无风险市场的期望收益率，r1为风险市场的期望收益率，一般地，0＜r0，r1＜1。因式(3.40)中的情形(II)和情形(IV)不存在，则式(3.43)中的情形(II)和情形(IV)不存在。根据式(3.39)知，在指数效用方程(3.23)下l0(t，x)不会大于1。所以，我们可以简化一下计算，即在指数效用方程(3.23)下，只需要考虑情形(0＜q*(t，x)＜1，0＜l*(t，x)＜1)和(q*(t，x)＜0，0＜l*(t，x)＜1)。