基于极限理论的最优再保险比例研究

为了解决上述问题，我们利用Browne(1995)在文献Optimal Investment Polices for a Firm with a Random Risk Process:Exponential Vtility and Minimizing the Probability of Ruin中提到的动态规划方法，根据文献中的讨论，得知若最优值函数V及偏导数Vt，Vx和Vxx在R+1×R1连续，则V满足下列哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程:

且满足边界条件

且满足边界条件

且满足边界条件

下面可求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，假设方程(3.10)的最大值在控制区域的内部达到，即对于所有的(t，x)∈[0，T)×R最优q*(t，x)∈[0，1]，对式(3.10)求导，令导数为零，得

下面可求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，假设方程(3.10)的最大值在控制区域的内部达到，即对于所有的(t，x)∈[0，T)×R最优q*(t，x)∈[0，1]，对式(3.10)求导，令导数为零，得

下面可求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，假设方程(3.10)的最大值在控制区域的内部达到，即对于所有的(t，x)∈[0，T)×R最优q*(t，x)∈[0，1]，对式(3.10)求导，令导数为零，得

注意q0(t，x)＜1，如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，上述讨论可得下面引理，在解决方程(3.10)的过程中将会用到。

注意q0(t，x)＜1，如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，上述讨论可得下面引理，在解决方程(3.10)的过程中将会用到。

注意q0(t，x)＜1，如果q0(t，x)≥0，则q*(t，x)的形式与q0(t，x)一致，上述讨论可得下面引理，在解决方程(3.10)的过程中将会用到。

引理3.2设A1＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1}，V为方程的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x的凹增函数，则V在A1上满足带有边界条件(3.11)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.10)。

证明:显然在A1中式(3.10)关于q最大值在q0(t，x)如式(3.9)的情况下取得，代入到方程(3.10)，得方程(3.13)的左端。

下面利用以上的引理来求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)的解。设q*(t，x)为方程(3.10)的左端的最大值，即0＜q*(t，x)＜1，如果0＜q*(t，x)前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.12)中q0(t，x)的形式相同，代入方程(3.10)的左端得方程(3.13)，与Browne(1995)式子(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:

引理3.2设A1＝{(t，x)∈[0，T)×R:0＜q0(t，x)＜1}，V为方程的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x的凹增函数，则V在A1上满足带有边界条件(3.11)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.10)。

证明:显然在A1中式(3.10)关于q最大值在q0(t，x)如式(3.9)的情况下取得，代入到方程(3.10)，得方程(3.13)的左端。

下面利用以上的引理来求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)的解。设q*(t，x)为方程(3.10)的左端的最大值，即0＜q*(t，x)＜1，如果0＜q*(t，x)前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.12)中q0(t，x)的形式相同，代入方程(3.10)的左端得方程(3.13)，与Browne(1995)式子(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:

下面利用以上的引理来求解带有边界条件(3.11)的方程(3.10)的解。设q*(t，x)为方程(3.10)的左端的最大值，即0＜q*(t，x)＜1，如果0＜q*(t，x)前面的讨论说明q*(t，x)的形式与式(3.12)中q0(t，x)的形式相同，代入方程(3.10)的左端得方程(3.13)，与Browne(1995)式子(79)的求解方法类似，我们希望找到形式如下:

这里，h(x)为使得式(3.14)满足方程(3.13)的合适的函数，将式(3.14)代入方程(3.13)，得

这里，h(x)为使得式(3.14)满足方程(3.13)的合适的函数，将式(3.14)代入方程(3.13)，得

这里，h(x)为使得式(3.14)满足方程(3.13)的合适的函数，将式(3.14)代入方程(3.13)，得

积分，得

积分，得

积分，得

这里

这里

这里

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.11)的解(www.xing528.com)

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.11)的解

当最终形式给出时，k将会被确定，因此，可得方程(3.11)的解

根据边界条件得K1＝0，根据式(3.12)，式(3.13)和式(3.15)，显然

根据边界条件得K1＝0，根据式(3.12)，式(3.13)和式(3.15)，显然

根据边界条件得K1＝0，根据式(3.12)，式(3.13)和式(3.15)，显然

根据式(3.17)中q*(t，x)的形式，得

根据式(3.17)中q*(t，x)的形式，得

根据式(3.17)中q*(t，x)的形式，得

当q0(t，x)＜0，则取q*(t，x)＝0代入到式(3.10)可得下面引理3.3。

引理3.3设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0}，V为方程

当q0(t，x)＜0，则取q*(t，x)＝0代入到式(3.10)可得下面引理3.3。

引理3.3设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0}，V为方程

当q0(t，x)＜0，则取q*(t，x)＝0代入到式(3.10)可得下面引理3.3。

引理3.3设A2＝{(t，x)∈[0，T)×R:q0(t，x)＜0}，V为方程

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A2上满足带有边界条件(3.11)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.10)。

证明:显然在A2中式(3.10)关于q的最大值在q0(t，x)＝0处取得，代入到方程(3.10)，得方程(3.19)的左端。

与Browne(1995)中式(79)的求解方法类似，我们希望得到形式如下:

的解，且V(T，x)＝u(x)，V(t，x)为变量x凹的增函数，则V在A2上满足带有边界条件(3.11)的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(3.10)。

证明:显然在A2中式(3.10)关于q的最大值在q0(t，x)＝0处取得，代入到方程(3.10)，得方程(3.19)的左端。

易知

于是由(iv)知，对给定λ≥0，只要证明在R(R1，R2)上R与Browne(1995)中式(79)的求解方法类似，我们希望得到形式如下:

将式(3.20)代入到方程(3.19)中得h(t)＝eλ(T-t)+K2，此外在[0，T)×R上，式(3.20)中的V满足带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，得K2＝0。

将式(3.20)代入到方程(3.19)中得h(t)＝eλ(T-t)+K2，此外在[0，T)×R上，式(3.20)中的V满足带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，得K2＝0。

将式(3.20)代入到方程(3.19)中得h(t)＝eλ(T-t)+K2，此外在[0，T)×R上，式(3.20)中的V满足带有边界条件(3.11)的方程(3.10)，得K2＝0。