基于极限理论的再保险模型及相关技术研究：国内外研究现状

Lundberg最早提出了风险理论，他早期研究的结果是当今风险理论的基础，目前，有大量的文献对其结果做了不同方式的推广，提出了更为丰富的风险模型，如方差风险模型，泊松风险模型，VaR(Value at Risk)风险模型，跳-扩散风险模型，等等。另外一个有意义的推广就是将随机过程引入到风险过程中，讨论了最小破产概率、最大效用期望以及再保险保费的确定、险种的开发。再保险过程中的破产概率的相关结果可以参考Gerber(1979)，Grandell(1991，1997)，Schmidli(2001)，David(1997)，Yang and Zhang(2005)等人的研究成果。

目前，投资问题已经引起了越来越多专家学者们的注意，随机控制理论已经渗透到再保险的各个领域，利用随机控制理论分析再保险过程中的相关问题已取得了大量结果。控制理论已经成为研究再保险过程中的各类问题的有力工具，利用随机控制理论可以更有效地研究保险过程中的最小破产概率，最大效用期望等相关问题。

Browne(1995)研究了在资本服从Black-Scholes模型下，如何进行风险投资和无风险投资使得破产概率最小的跳-扩散风险模型，得到了最小破产概率具体的表达式。Cao和Zeng(2012)在资本服从经典布朗运动的前提下，将市场分为风险市场和无风险市场，讨论了保险人如何购买比例再保险，如何向风险市场和无风险市场投资的问题，通过求解相应的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程，给出了再保险和投资的最优决策及相应的破产概率的最小值。Yang和Zhang(2005)分别在理赔额服从指数分布、Gamma分布、Pareto分布时，讨论了再保险过程中的投资问题，并给出了最小破产概率的数值解，讨论了各参数对破产概率的影响。

Schmidli(2001)利用哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程得到了比例再保险函数和超额损失再保险函数下的最优策略，证明了方程解的存在性及判定方法，在索赔额服从指数分布和Pareto分布时，给出了相应破产概率的数值解。随后在2008年，Schmidli将投资引入到再保险过程中，根据相应的破产概率满足的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程得到了基于投资-再保险的最优策略，并通过具体的例子验证了方程解的存在性和递增性。DeFinetti(2009)讨论了分红策略下的再保险问题，Gerber(1998)深入地研究了边界分红的上下界问题，提出了阈值分红的概念。杨步清和叶中行(2000)研究了方差风险下的最优比例再保险，应用微分方程理论得到了相应的微分方程，给出了方差风险最小情况下的比例再保险的最优比例。Taksar(1995)讨论了超额损失再保险函数下的最优红利问题，得到分红有上限和无上限两种情形下的最优自留风险额。

最大效用是再保险的最优衡量标准之一，许多学者从不同的角度讨论了效用期望最大化的最优再保险问题，Cao和Wan(2009)讨论了指数效用和乘方效用函数下，如何进行再保险和如何进行风险投资和无风险投资，使得最终期望效用最大化的最优策略，得到了期望效用的具体值，并通过计算机模拟验证了理论与实际的吻合性。跳-扩散过程中的布朗运动是研究再保险效用的重要工具，许多学者在资本服从几何布朗运动的前提下讨论了再保险过程中的投资收益问题，Cao和Xu(2010)在投资收益服从对数正态分布的前提下讨论了再保险的定价问题，给出了如何对再保险进行定价使得投资收益率以一定的概率超过给定值的方法，文中分别站在再保险人和原保险人的角度，谈论了比例再保险函数和停止损失再保险函数的定价问题。

然而，再保险过程中面临着许多无法估计的政治和经济因素，因此许多学者在再保险过程中引入了随机利率下的再保险和投资问题，这使得理论结果与实际问题更加接近。(www.xing528.com)

风险和效用始终是保险公司面临的两个最重要的问题，当面临巨额风险的时候，保险公司一般通过再保险来降低风险，再保险是指保险公司分散风险的重要途径，再保险(reinsurance)也称分保，是保险人在原保险合同的基础上，通过签订分保合同，将其所承保的部分风险转让给其他保险人，再保险过程中，分出风险的公司成为原保险人，接受业务的公司成为再保险人，原保险人通过向再保险人缴纳相应的保费，当索赔一旦发生，再保险人按照合同的约定，承担相应的风险。

再保险问题已经成为保险精算中的热门话题，Kaluszka(2001)讨论了期望-方差保费计算原理下的最优再保险；Young(1999，a，b)在Wang's保费计算原理下讨论了保险人的期望最大化问题，Cao和Zhang(2007)讨论了一般风险测量下的最优再保险问题，Kaluszka(2005)讨论了均值-方差保费计算原理下的最优再保险投资问题，Browne(1995)研究了带Poisson跳跃的广义跳-扩散模型有红利支付下欧式期权的保险精算定价问题。Gajek和Zagrodny(2000)，Gerber(1979)讨论了再保险函数及风险测量的相关问题，更一般性的再保险风险理论可以参考Buhlmann(1970)，Daykin(1993)的研究。

不同目标函数下的最优问题一直是保险研究中的热门问题，Promislow和Yong(2005)在经典带干扰模型的基础上给出了破产概率表达式及Lundberg不等式。

本研究最大的不同在于在资本过程服从布朗运动的假设下引入了再保险，此外还采用了不同的最优标准。我们假设保险人的卖空是被禁止的而且保险人可以通过购买比例再保险来降低风险，基于上述假设，本研究利用漂移布朗运动和哈密尔顿-雅克比-贝尔曼理论讨论指数效用的期望最大化问题，通过对相应的哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程求解，并给出了最优比例再保险比例的最优决策。