极限理论再保险模型与技术研究: 最优再保险函数形式

下面来验证当风险为

ρ(R)＝αE(Y-R(Y)-E(Y-R(Y)))2++(1-α)E(R(Y)-ER(Y))2.

在集合R(0，y)上，依照π(R)＝ER(Y)+βDR(Y)计算保费时，最优再保险形式为

其中，M≥0，r∈[0，1]。

定义函数Q:[0，1]×R+→R+

其中，M≥0，r∈[0，1]。

定义函数Q:[0，1]×R+→R+

其中，M≥0，r∈[0，1]。

定义函数Q:[0，1]×R+→R+

考虑下面等式:

考虑下面等式:

考虑下面等式:

定理2.5　设P，β＞0，DY＞0，则存在r，m满足式(2.37)和式(2.38)，且对于满足式(2.37)和式(2.38)的r，m定义形式(2.35)的再保险函数为风险(2.27)测量下的最优再保险函数。

由式(2.37)知，当m→∞，r→0时，(2.37)式的右端→EY+βDY＞P，当r→1时，(2.37)式右端→0。由连续性知∀m＞0，∃0＜r(m)＜1使得式(2.37)成立。由于EY+βDY＞P，知r(m)关于m递减，把r(m)代入到式(2.38)得

定理2.5　设P，β＞0，DY＞0，则存在r，m满足式(2.37)和式(2.38)，且对于满足式(2.37)和式(2.38)的r，m定义形式(2.35)的再保险函数为风险(2.27)测量下的最优再保险函数。

由式(2.37)知，当m→∞，r→0时，(2.37)式的右端→EY+βDY＞P，当r→1时，(2.37)式右端→0。由连续性知∀m＞0，∃0＜r(m)＜1使得式(2.37)成立。由于EY+βDY＞P，知r(m)关于m递减，把r(m)代入到式(2.38)得

定理2.5　设P，β＞0，DY＞0，则存在r，m满足式(2.37)和式(2.38)，且对于满足式(2.37)和式(2.38)的r，m定义形式(2.35)的再保险函数为风险(2.27)测量下的最优再保险函数。

由式(2.37)知，当m→∞，r→0时，(2.37)式的右端→EY+βDY＞P，当r→1时，(2.37)式右端→0。由连续性知∀m＞0，∃0＜r(m)＜1使得式(2.37)成立。由于EY+βDY＞P，知r(m)关于m递减，把r(m)代入到式(2.38)得

一方面对于式(2.36)定义的Q(r，m)关于r，m连续，且当m→0时，Q(r，m)趋于一个正数，因此式(2.39)左端趋于一个负数，而当m→0时式(2.39)右端趋于一个正数。另一方面，当m→0，则r(m)→0，式(2.39)右端趋于0，此时(Q(r(m)，m)＜m，则式(2.39)左端趋于一个正数。因此肯定存在m∈(0，∞)使得式(2.39)成立。

并以满足式(2.37)、式(2.39)的M和r(M)定义式(2.35)中的R*，由式(2.37)知，P＝ER*(Y)+βDR*(Y)。现在来验证定理2.5的条件。注意:(www.xing528.com)

一方面对于式(2.36)定义的Q(r，m)关于r，m连续，且当m→0时，Q(r，m)趋于一个正数，因此式(2.39)左端趋于一个负数，而当m→0时式(2.39)右端趋于一个正数。另一方面，当m→0，则r(m)→0，式(2.39)右端趋于0，此时(Q(r(m)，m)＜m，则式(2.39)左端趋于一个正数。因此肯定存在m∈(0，∞)使得式(2.39)成立。

并以满足式(2.37)、式(2.39)的M和r(M)定义式(2.35)中的R*，由式(2.37)知，P＝ER*(Y)+βDR*(Y)。现在来验证定理2.5的条件。注意:

一方面对于式(2.36)定义的Q(r，m)关于r，m连续，且当m→0时，Q(r，m)趋于一个正数，因此式(2.39)左端趋于一个负数，而当m→0时式(2.39)右端趋于一个正数。另一方面，当m→0，则r(m)→0，式(2.39)右端趋于0，此时(Q(r(m)，m)＜m，则式(2.39)左端趋于一个正数。因此肯定存在m∈(0，∞)使得式(2.39)成立。

并以满足式(2.37)、式(2.39)的M和r(M)定义式(2.35)中的R*，由式(2.37)知，P＝ER*(Y)+βDR*(Y)。现在来验证定理2.5的条件。注意:

则当0≤y≤M时，R*(y)＝0，对定理2.4中的条件(i)，因为此时即R*(y)＝R1(y)，此时S*(y)有两种可能:①Q(r，m)≤y≤m；②0≤y≤Q(r，m)，由λ，S*，R*的定义，代入验证两种情况下，均有

则当0≤y≤M时，R*(y)＝0，对定理2.4中的条件(i)，因为此时即R*(y)＝R1(y)，此时S*(y)有两种可能:①Q(r，m)≤y≤m；②0≤y≤Q(r，m)，由λ，S*，R*的定义，代入验证两种情况下，均有

则当0≤y≤M时，R*(y)＝0，对定理2.4中的条件(i)，因为此时即R*(y)＝R1(y)，此时S*(y)有两种可能:①Q(r，m)≤y≤m；②0≤y≤Q(r，m)，由λ，S*，R*的定义，代入验证两种情况下，均有

于是定理2.4中的条件(i)成立。

当y＞M，(1-r(M))(y-M)＜y时，代入得，

于是定理2.4中的条件(i)成立。

当y＞M，(1-r(M))(y-M)＜y时，代入得，

于是定理2.4中的条件(i)成立。

当y＞M，(1-r(M))(y-M)＜y时，代入得，

故定理2.4的条件(iii)成立。同样，易知定理2.4的条件(ii)成立。

由定理2.4知，式(2.35)定义的R*为最优再保险合同。证毕。

故定理2.4的条件(iii)成立。同样，易知定理2.4的条件(ii)成立。

由定理2.4知，式(2.35)定义的R*为最优再保险合同。证毕。

故定理2.4的条件(iii)成立。同样，易知定理2.4的条件(ii)成立。

由定理2.4知，式(2.35)定义的R*为最优再保险合同。证毕。