若设u为凹函数，u在t处的次微分∂u(t)为一个单调的多元函数，Su(.)为∂u(t)的一个次梯度，非增。易知Su(.)为一个Borel函数，且对于给定的函数R(y)，R*(y)有:
记
显然S*(y)满足
显然S*(y)满足
显然S*(y)满足
注意条件(2.14)比条件(2.13)要弱，这意味着可能存在S*(y)满足式(2.14)，但u不一定是凸函数。
下面给出本部分的主要结果:
定理2.2令R*(y):[0，∞)→(-∞，∞)，DR*(Y)＞0，假设存在函数S*(y)满足式(2.14)。
(i)对每一y≥0使得R*(y)＝0，有
注意条件(2.14)比条件(2.13)要弱，这意味着可能存在S*(y)满足式(2.14)，但u不一定是凸函数。
下面给出本部分的主要结果:
定理2.2令R*(y):[0，∞)→(-∞，∞)，DR*(Y)＞0，假设存在函数S*(y)满足式(2.14)。
(i)对每一y≥0使得R*(y)＝0，有
注意条件(2.14)比条件(2.13)要弱，这意味着可能存在S*(y)满足式(2.14)，但u不一定是凸函数。
下面给出本部分的主要结果:
定理2.2令R*(y):[0，∞)→(-∞，∞)，DR*(Y)＞0，假设存在函数S*(y)满足式(2.14)。
(i)对每一y≥0使得R*(y)＝0，有
(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝y，有
(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝y，有
(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝y，有
(iii)对每一y≥0使得0＜R*(y)＜y，有
(iii)对每一y≥0使得0＜R*(y)＜y，有
(iii)对每一y≥0使得0＜R*(y)＜y，有(www.xing528.com)
那么，在集R(0，y)和条件P＝(1+β)ER(Y)下，R*(y)使U(R)最小，即为最优再保险合同。
证明:U(R*)-U(R)＝Eu(w-Y+R*(x)-P)-Eu(w-Y+R(x)-P)
那么，在集R(0，y)和条件P＝(1+β)ER(Y)下，R*(y)使U(R)最小，即为最优再保险合同。
证明:U(R*)-U(R)＝Eu(w-Y+R*(x)-P)-Eu(w-Y+R(x)-P)
那么，在集R(0，y)和条件P＝(1+β)ER(Y)下，R*(y)使U(R)最小，即为最优再保险合同。
证明:U(R*)-U(R)＝Eu(w-Y+R*(x)-P)-Eu(w-Y+R(x)-P)
这里，
这里，
这里，
在A上，由(i)知第一个积分非负；在C上，由(ii)和R(y)＜y知，第二个积分非负；在集B上，由(iii)知第二个积分为0，于是U(R*)-u(R)≥0。因此，在R(0，y)上，R*使得U(.)最大，即R*为最优的再保险合同。证毕。
在A上，由(i)知第一个积分非负；在C上，由(ii)和R(y)＜y知，第二个积分非负；在集B上，由(iii)知第二个积分为0，于是U(R*)-u(R)≥0。因此，在R(0，y)上，R*使得U(.)最大，即R*为最优的再保险合同。证毕。
在A上，由(i)知第一个积分非负；在C上，由(ii)和R(y)＜y知，第二个积分非负；在集B上，由(iii)知第二个积分为0，于是U(R*)-u(R)≥0。因此，在R(0，y)上，R*使得U(.)最大，即R*为最优的再保险合同。证毕。
下面证明对于式(2.12)的再保险函数存在唯一的m满足条件(iii)；根据条件0＜R*(y)＜y，则在此条件下，R*(y)＝y-m，
记h(m)＝u′(w-m-(1+β)E(Y-m)+)-(1+β)Eu′(w-(Y∧m)-(1+β)E(Y-m)+)则
下面证明对于式(2.12)的再保险函数存在唯一的m满足条件(iii)；根据条件0＜R*(y)＜y，则在此条件下，R*(y)＝y-m，
记h(m)＝u′(w-m-(1+β)E(Y-m)+)-(1+β)Eu′(w-(Y∧m)-(1+β)E(Y-m)+)则
下面证明对于式(2.12)的再保险函数存在唯一的m满足条件(iii)；根据条件0＜R*(y)＜y，则在此条件下，R*(y)＝y-m，
记h(m)＝u′(w-m-(1+β)E(Y-m)+)-(1+β)Eu′(w-(Y∧m)-(1+β)E(Y-m)+)则
又由于效用函数为凹函数，即u″(x)≤0，则h′(m)≥0，因此有唯一的m满足条件(iii)，又根据u″(x)≤0知s*(y)单调递减，在满足条件(iii)的同时，条件(i)，(ii)得到满足。
又由于效用函数为凹函数，即u″(x)≤0，则h′(m)≥0，因此有唯一的m满足条件(iii)，又根据u″(x)≤0知s*(y)单调递减，在满足条件(iii)的同时，条件(i)，(ii)得到满足。
又由于效用函数为凹函数，即u″(x)≤0，则h′(m)≥0，因此有唯一的m满足条件(iii)，又根据u″(x)≤0知s*(y)单调递减，在满足条件(iii)的同时，条件(i)，(ii)得到满足。
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