专升本高数二练习题4-1参考解答及分析

2.【分析】利用函数的对应法则可得

f（x-y，x+y）=[（x-y）（x+y）]^{（x-y）+（x+y）}=（x²-y²）^2x

3.因为 f（x-y，xy）=（x-y）3+3x²y-3xy²-3xy=（x-y）3+3xy（x-y-1）

所以 f（x，y）=x³+3（x-1）y

4.应选C选项 【分析】

因为 f（x+y，xy）=（x+y）²-2xy-（xy）3

所以 f（x，y）=x²-2y-y3

2.【分析】利用函数的对应法则可得

f（x-y，x+y）=[（x-y）（x+y）]^{（x-y）+（x+y）}=（x²-y²）^2x

3.因为 f（x-y，xy）=（x-y）3+3x²y-3xy²-3xy=（x-y）3+3xy（x-y-1）

所以 f（x，y）=x³+3（x-1）y

4.应选C选项 【分析】

因为 f（x+y，xy）=（x+y）²-2xy-（xy）3

所以 f（x，y）=x²-2y-y3

2.【分析】利用函数的对应法则可得

f（x-y，x+y）=[（x-y）（x+y）]^{（x-y）+（x+y）}=（x²-y²）^2x

3.因为 f（x-y，xy）=（x-y）3+3x²y-3xy²-3xy=（x-y）3+3xy（x-y-1）

所以 f（x，y）=x³+3（x-1）y

4.应选C选项 【分析】

因为 f（x+y，xy）=（x+y）²-2xy-（xy）3

所以 f（x，y）=x²-2y-y3

则有

则有

则有

5.应填 【分析】 z对y求偏导数时应该用幂函数的求导公式

5.应填 【分析】 z对y求偏导数时应该用幂函数的求导公式

5.应填 【分析】 z对y求偏导数时应该用幂函数的求导公式

6.解 （1）

6.解 （1）

6.解 （1）

（2）【分析】 此时函数z是x的幂指函数，与题5中求时的z是y的幂函数有很大区别.考生可用一元函数中的对数求导法，也可用多元复合函数求导公式.

解法一 对数求导法

将等式两边取对数得 lnz=xln（1+xy）

（2）【分析】 此时函数z是x的幂指函数，与题5中求时的z是y的幂函数有很大区别.考生可用一元函数中的对数求导法，也可用多元复合函数求导公式.

解法一 对数求导法

将等式两边取对数得 lnz=xln（1+xy）

（2）【分析】 此时函数z是x的幂指函数，与题5中求时的z是y的幂函数有很大区别.考生可用一元函数中的对数求导法，也可用多元复合函数求导公式.

解法一 对数求导法

将等式两边取对数得 lnz=xln（1+xy）

两边对x求导得

两边对x求导得

两边对x求导得

所以

解法二 复合函数求导法

设u=1+xy，v=x，则z=u^v.

所以

解法二 复合函数求导法

设u=1+xy，v=x，则z=u^v.

所以

解法二 复合函数求导法

设u=1+xy，v=x，则z=u^v.

则

则

则

7.【分析】 用复合函数求导公式分别求出与

解 设z=u^v，其中u=x²+y²，v=xy.

7.【分析】 用复合函数求导公式分别求出与

解 设z=u^v，其中u=x²+y²，v=xy.

7.【分析】 用复合函数求导公式分别求出与

解 设z=u^v，其中u=x²+y²，v=xy.

则

则

则

注 如果z=f（x，y），将x与y的位置互换，所得到的函数与z相等，即z=f（x，y）=f（y，x），这样的函数称为对称函数.对称函数在求偏导时，可以利用对称性.如本题z=（x²+y²）^xy就是对称函数，求出后，则求时只需利用对称性，将中的x换成y，y换成x就得到结果

由于对称函数在求偏导时用得比较多，而且此方法易记忆，且使用简单，故介绍给考生.例

注 如果z=f（x，y），将x与y的位置互换，所得到的函数与z相等，即z=f（x，y）=f（y，x），这样的函数称为对称函数.对称函数在求偏导时，可以利用对称性.如本题z=（x²+y²）^xy就是对称函数，求出后，则求时只需利用对称性，将中的x换成y，y换成x就得到结果

由于对称函数在求偏导时用得比较多，而且此方法易记忆，且使用简单，故介绍给考生.例

注 如果z=f（x，y），将x与y的位置互换，所得到的函数与z相等，即z=f（x，y）=f（y，x），这样的函数称为对称函数.对称函数在求偏导时，可以利用对称性.如本题z=（x²+y²）^xy就是对称函数，求出后，则求时只需利用对称性，将中的x换成y，y换成x就得到结果

由于对称函数在求偏导时用得比较多，而且此方法易记忆，且使用简单，故介绍给考生.例

如，例8中的（1）为对称函数，求出后，可立即写出，从而得到结果.

如，例8中的（1）为对称函数，求出后，可立即写出，从而得到结果.

如，例8中的（1）为对称函数，求出后，可立即写出，从而得到结果.

8.解 对x求导得

8.解 对x求导得

8.解 对x求导得

对y求导得 (https://www.xing528.com)

对y求导得

对y求导得

所以

所以

所以

9.解 对x求导得

9.解 对x求导得

9.解 对x求导得

对y求导得

对y求导得

对y求导得

因此

因此

因此

10.解 （1）设

10.解 （1）设

10.解 （1）设

则

则

则

所以 ，

（2）设F（x，y，z）=x²+z²-lnz+lny

所以 ，

（2）设F（x，y，z）=x²+z²-lnz+lny

所以 ，

（2）设F（x，y，z）=x²+z²-lnz+lny

则 ， ，

则 ， ，

则 ， ，

所以 ，

（3）设F（x，y，z）=x+y+z-e-（x+y+z）

所以 ，

（3）设F（x，y，z）=x+y+z-e-（x+y+z）

所以 ，

（3）设F（x，y，z）=x+y+z-e-（x+y+z）

则 ，，

则 ，，

则 ，，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

11.解 先求与，分别令与可得

11.解 先求与，分别令与可得

11.解 先求与，分别令与可得

解此方程组得可能的极值点为x=-6，y=-3.

又因为A=f_x″_x（-6，-3）=1，B=f_x″_y（-6，-3）=-1，C=f_y″_y（-6，-3）=2.

则有 B²-AC=-1＜0，且A=1＞0

所以函数f（x，y）在点（-6，-3）有极小值，极小值为

f（-6，-3）=-9

12.【分析】 构造拉格朗日函数求解.

解 设F（x，y，λ）=x²+y²+λ（2x+y-5）

则

解此方程组得可能的极值点为x=-6，y=-3.

又因为A=f_x″_x（-6，-3）=1，B=f_x″_y（-6，-3）=-1，C=f_y″_y（-6，-3）=2.

则有 B²-AC=-1＜0，且A=1＞0

所以函数f（x，y）在点（-6，-3）有极小值，极小值为

f（-6，-3）=-9

12.【分析】 构造拉格朗日函数求解.

解 设F（x，y，λ）=x²+y²+λ（2x+y-5）

则

解此方程组得可能的极值点为x=-6，y=-3.

又因为A=f_x″_x（-6，-3）=1，B=f_x″_y（-6，-3）=-1，C=f_y″_y（-6，-3）=2.

则有 B²-AC=-1＜0，且A=1＞0

所以函数f（x，y）在点（-6，-3）有极小值，极小值为

f（-6，-3）=-9

12.【分析】 构造拉格朗日函数求解.

解 设F（x，y，λ）=x²+y²+λ（2x+y-5）

则

由①和②得x=2y代入③得y=1，x=2，所以f（2，1）=5为极值.

由于点（0，5）满足约束条件2x+y-5=0，且f（0，5）=25＞f（2，1）=5，所以f（2，1）=5为极小值.

由①和②得x=2y代入③得y=1，x=2，所以f（2，1）=5为极值.

由于点（0，5）满足约束条件2x+y-5=0，且f（0，5）=25＞f（2，1）=5，所以f（2，1）=5为极小值.

由①和②得x=2y代入③得y=1，x=2，所以f（2，1）=5为极值.

由于点（0，5）满足约束条件2x+y-5=0，且f（0，5）=25＞f（2，1）=5，所以f（2，1）=5为极小值.