二元函数极值概念解析及判定原则

1.二元函数极值的概念

定义设函数z=f（x，y）在点M₀（x₀，y₀）的某邻域内有定义，对在该邻域内任何异于M₀（x₀，y₀）的点M（x，y），如果都有f（x，y）＜f（x₀，y₀），则称函数在点M₀（x₀，y₀）有极大值f（x₀，y₀）；如果都有f（x，y）＞f（x₀，y₀），则称函数在点M₀（x₀，y₀）有极小值f（x₀，y₀）.极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点M₀（x₀，y₀）称为极值点.

定理4.2 （极值存在的必要条件）如果可微函数z=f（x，y）在点M₀（x₀，y₀）有极值，则它在该点的偏导数为零.即

f_x'（x₀，y₀）=0，f_y'（x₀，y₀）=0

使f_x'（x₀，y₀）=0，f_y'（x₀，y₀）=0同时成立的点（x₀，y₀）称为函数z=f（x，y）的驻点，由上述定理知极值点一定是驻点.但是，驻点不一定是极值点.

定理4.3 （极值存在的充分条件）设函数z=f（x₀，y₀）在点（x₀，y₀）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且 f_x'（x₀，y₀）=0，f_y'（x₀，y₀）=0又设 f_xx″（x₀，y₀）=A，f_x″_y（x₀，y₀）=B，f_y″_y（x₀，y₀）=C则

①当B²-AC＜0时，函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处取得极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值.

②当B²-AC＞0时，函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处无极值.

③当B²-AC=0时，函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处是否有极值不能确定，要用其他方法另作讨论.

2.二元函数无条件极值的计算

由上述定理4.2和定理4.3可以得出如下求函数极值的步骤：

（1）解方程组，求出所有驻点.

（2）对于每个驻点求出对应的A，B，C.

（3）由B²-AC的符号判定该驻点是否为极值点.

（4）求出极值点上的函数值，即函数的极值.

3.二元函数的条件极值

求函数z=f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的极值，称为条件极值.

条件极值问题通常可化为无约束条件的极值问题，只需构造拉格朗日函数F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）

求解方程组

（1）解方程组，求出所有驻点.

（2）对于每个驻点求出对应的A，B，C.(www.xing528.com)

（3）由B²-AC的符号判定该驻点是否为极值点.

（4）求出极值点上的函数值，即函数的极值.

3.二元函数的条件极值

求函数z=f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的极值，称为条件极值.

条件极值问题通常可化为无约束条件的极值问题，只需构造拉格朗日函数F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）

求解方程组

（1）解方程组，求出所有驻点.

（2）对于每个驻点求出对应的A，B，C.

（3）由B²-AC的符号判定该驻点是否为极值点.

（4）求出极值点上的函数值，即函数的极值.

3.二元函数的条件极值

求函数z=f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的极值，称为条件极值.

条件极值问题通常可化为无约束条件的极值问题，只需构造拉格朗日函数F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）

求解方程组

解出x，y，λ，则其中的点（x，y）就是函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能取得极值的极值点的坐标.

判定点（x，y）是否为所给条件极值的极值点，通常可依据问题的实际意义判定：如果所求的驻点唯一，且实际问题存在最大值（或最小值），则所求的驻点（x，y）就是极大值点（或极小值点），也就是所给实际问题的最大值点（或最小值点）.

解出x，y，λ，则其中的点（x，y）就是函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能取得极值的极值点的坐标.

判定点（x，y）是否为所给条件极值的极值点，通常可依据问题的实际意义判定：如果所求的驻点唯一，且实际问题存在最大值（或最小值），则所求的驻点（x，y）就是极大值点（或极小值点），也就是所给实际问题的最大值点（或最小值点）.

解出x，y，λ，则其中的点（x，y）就是函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能取得极值的极值点的坐标.

判定点（x，y）是否为所给条件极值的极值点，通常可依据问题的实际意义判定：如果所求的驻点唯一，且实际问题存在最大值（或最小值），则所求的驻点（x，y）就是极大值点（或极小值点），也就是所给实际问题的最大值点（或最小值点）.