1.【分析】 求已知曲线围成的平面图形的面积一般分三步:
首先画出每一条曲线的图像,然后求其交点,以便确定积分限.第三步再求其面积.
解 (1)画出y=x2与的图像如图3-14所示,解方程组,得交点(0,0)和(1,1),
则其面积
(2)画出已知曲线所围成区域的平面图形如图3-15所示.解方程组
图 3-14
图 3-15
图 3-16
与,分别得交点(0,0),(1,1)和(0,0),(2,4).
则其面积
(3)画出的平面图形如图3-16所示.求得的交点为(1,1),,(2,2),则有平面图形的面积
(4)画出平面图形如图3-17所示.求得的交点为(0,0),,由于
图形面积是对称的,所以其面积
2.【分析】 先求切线方程,再画平面图形.
解因为y'=-2x+4,所以y'(0)=4,y'(3)=-2,所以过点(0,-3)的切线方程为y=4x-3,过点(3,0)的切线方程为y=-2x+6,两切线的交点为,画出平面图形如图3-18所示,所以
3.【分析】 先求y2=4x在点(1,2)的切线斜率,然后求出在点(1,2)处的法线方程,并画出平面图形,求出其交点的坐标并计算平面图形的面积.
图 3-17
图 3-18
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图 3-19
解 因为y2=4x,则2yy'=4,所以
则法线方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
解方程组求交点
得y2=-4y+12,解得y1=-6,y2=2.
则交点为(9,-6)与(1,2).其平面图形如图3-19所示.
则面积
4.由题意得 所以 ,得
5.【分析】 应先求A1+A2,再求其具有极小值时的a的取值.
解
由于A=A1+A2是a的函数,对a求导得 ,得a=0或,
A″=6a-2,由于所以当时,A=A1+A2取得最小值.因此为所求.
6.其平面图形如图3-20所示,则平面图形面积为
旋转体的体积为
7.画出平面图形如图3-21所示.
图 3-20
图 3-21
图 3-22
8.画出平面图形如图3-22所示,则有
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