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高等数学章五练习题3-3参考解答及分析

时间:2023-08-01 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.【分析】 求已知曲线围成的平面图形的面积一般分三步:首先画出每一条曲线的图像,然后求其交点,以便确定积分限.第三步再求其面积.解 (1)画出y=x2与的图像如图3-14所示,解方程组,得交点(0,0)和(1,1),解 (1)画出y=x2与的图像如图3-14所示,解方程组,得交点(0,0)和(1,1),解 (1)画出y=x2与的图像如图3-14所示,解方程组,得交点(0,0)和(1,1),则其面

高等数学章五练习题3-3参考解答及分析

1.分析 求已知曲线围成的平面图形的面积一般分三步:

首先画出每一条曲线的图像,然后求其交点,以便确定积分限.第三步再求其面积.

解 (1)画出y=x2978-7-111-45312-3-Chapter03-268.jpg的图像如图3-14所示,解方程组978-7-111-45312-3-Chapter03-269.jpg,得交点(0,0)和(1,1),

则其面积 978-7-111-45312-3-Chapter03-270.jpg

(2)画出已知曲线所围成区域的平面图形如图3-15所示.解方程组

978-7-111-45312-3-Chapter03-271.jpg

图 3-14

978-7-111-45312-3-Chapter03-272.jpg

图 3-15

978-7-111-45312-3-Chapter03-273.jpg

图 3-16

978-7-111-45312-3-Chapter03-274.jpg978-7-111-45312-3-Chapter03-275.jpg,分别得交点(0,0),(1,1)和(0,0),(2,4).

则其面积 978-7-111-45312-3-Chapter03-276.jpg

(3)画出的平面图形如图3-16所示.求得的交点为(1,1),978-7-111-45312-3-Chapter03-277.jpg,(2,2),则有平面图形的面积

978-7-111-45312-3-Chapter03-278.jpg

(4)画出平面图形如图3-17所示.求得的交点为(0,0),978-7-111-45312-3-Chapter03-279.jpg978-7-111-45312-3-Chapter03-280.jpg由于

图形面积是对称的,所以其面积

978-7-111-45312-3-Chapter03-281.jpg

2.分析 先求切线方程,再画平面图形.

解因为y'=-2x+4,所以y'(0)=4,y'(3)=-2,所以过点(0,-3)的切线方程为y=4x-3,过点(3,0)的切线方程为y=-2x+6,两切线的交点为978-7-111-45312-3-Chapter03-282.jpg,画出平面图形如图3-18所示,所以

978-7-111-45312-3-Chapter03-283.jpg

3.分析 先求y2=4x在点(1,2)的切线斜率,然后求出在点(1,2)处的法线方程,并画出平面图形,求出其交点的坐标并计算平面图形的面积.

978-7-111-45312-3-Chapter03-284.jpg

图 3-17

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图 3-18

978-7-111-45312-3-Chapter03-286.jpg(www.xing528.com)

图 3-19

解 因为y2=4x,则2yy'=4,所以978-7-111-45312-3-Chapter03-287.jpg

则法线方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.

解方程组求交点

978-7-111-45312-3-Chapter03-288.jpgy2=-4y+12,解得y1=-6,y2=2.

则交点为(9,-6)与(1,2).其平面图形如图3-19所示.

则面积 978-7-111-45312-3-Chapter03-289.jpg

4.由题意得 978-7-111-45312-3-Chapter03-290.jpg所以 978-7-111-45312-3-Chapter03-291.jpg,得978-7-111-45312-3-Chapter03-292.jpg

5.分析 应先求A1+A2,再求其具有极小值时的a的取值.

978-7-111-45312-3-Chapter03-293.jpg

由于A=A1+A2a的函数,对a求导978-7-111-45312-3-Chapter03-294.jpg,得a=0或978-7-111-45312-3-Chapter03-295.jpg

A″=6a-2,由于978-7-111-45312-3-Chapter03-296.jpg所以当978-7-111-45312-3-Chapter03-297.jpg时,A=A1+A2取得最小值.因此978-7-111-45312-3-Chapter03-298.jpg为所求.

6.其平面图形如图3-20所示,则平面图形面积为

978-7-111-45312-3-Chapter03-299.jpg

旋转体的体积为 978-7-111-45312-3-Chapter03-300.jpg

7.画出平面图形如图3-21所示.

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图 3-20

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图 3-21

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图 3-22

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8.画出平面图形如图3-22所示,则有

978-7-111-45312-3-Chapter03-306.jpg

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