如何判断函数y=sinx的极限存在？

例1 判定函数当x→0时的极限是否存在.

【分析】因为x→0是指x→0-和x→0+，故应分别计算当x→0时f（x）的左、右极限.

例1 判定函数当x→0时的极限是否存在.

【分析】因为x→0是指x→0-和x→0+，故应分别计算当x→0时f（x）的左、右极限.

例1 判定函数当x→0时的极限是否存在.

【分析】因为x→0是指x→0-和x→0+，故应分别计算当x→0时f（x）的左、右极限.

解 当x→0-时，∞，则

解 当x→0-时，∞，则

解 当x→0-时，∞，则

当x→0+时，∞，则，

当x→0+时，∞，则，

当x→0+时，∞，则，

由定理1.6可知当x→0，极限不存在.

例2 在下列函数中，当x→0时，函数f（x）的极限存在的是（ ）.

由定理1.6可知当x→0，极限不存在.

例2 在下列函数中，当x→0时，函数f（x）的极限存在的是（ ）.

由定理1.6可知当x→0，极限不存在.

例2 在下列函数中，当x→0时，函数f（x）的极限存在的是（ ）.

【分析】对于分段函数在分段点x=0处的极限，应分别计算f（0-0）和f（0+0），如果f（0-0）=f（0+0）=A，则当x→0时，函数f（x）的极限存在，否则极限不存在.

【分析】对于分段函数在分段点x=0处的极限，应分别计算f（0-0）和f（0+0），如果f（0-0）=f（0+0）=A，则当x→0时，函数f（x）的极限存在，否则极限不存在.

【分析】对于分段函数在分段点x=0处的极限，应分别计算f（0-0）和f（0+0），如果f（0-0）=f（0+0）=A，则当x→0时，函数f（x）的极限存在，否则极限不存在.

在选项A中：，因为f（0-0）≠f（0+0），所以不存在.

在选项A中：，因为f（0-0）≠f（0+0），所以不存在.

在选项A中：，因为f（0-0）≠f（0+0），所以不存在.

在选项B中：，所以 不存在.

在选项B中：，所以 不存在.

在选项B中：，所以 不存在.

在选项C中：所以 ，故应选C选项.

对于选项D，显然其极限必不存在.

例3 下列极限存在的是（ ）.

在选项C中：所以 ，故应选C选项.

对于选项D，显然其极限必不存在.

例3 下列极限存在的是（ ）.

在选项C中：所以 ，故应选C选项.

对于选项D，显然其极限必不存在.

例3 下列极限存在的是（ ）.

【分析】 当x→+∞时，，极限不存在，排除A选项.

【分析】 当x→+∞时，，极限不存在，排除A选项.

【分析】 当x→+∞时，，极限不存在，排除A选项.

对于选项B，当x→+∞时，；而当x→-∞时，所以当x→∞时，的极限不存在，排除B选项.

对于选项B，当x→+∞时，；而当x→-∞时，所以当x→∞时，的极限不存在，排除B选项.

对于选项B，当x→+∞时，；而当x→-∞时，所以当x→∞时，的极限不存在，排除B选项.

对选项C，当x→+∞时，，所以应选C.

显然，对选项D，其极限必不存在.

例4 当x→+∞时，函数y=sinx的极限是否存在，为什么？

对选项C，当x→+∞时，，所以应选C.

显然，对选项D，其极限必不存在.

例4 当x→+∞时，函数y=sinx的极限是否存在，为什么？

对选项C，当x→+∞时，，所以应选C.

显然，对选项D，其极限必不存在.

例4 当x→+∞时，函数y=sinx的极限是否存在，为什么？

【分析】当x→+∞时，x可以取到之间的所有值（其中k为正整数且趋于+∞），因此sinx取1到-1之间的所有值，即当x→+∞时，函数y=sinx的极限不存在.我们把它称为：当x→+∞时，sinx振荡无极限.

例5 下列命题正确的是（ ）.

A.无穷小量的倒数是无穷大量 B.无穷小量是绝对值很小很小的数

C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量

【分析】由于数零是无穷小量中唯一的数，所以A不正确，但如果限制无穷小量不取零，则它的倒数为无穷大量.由于绝对值很小很小的“数”其极限值不为零，排除B选项.按无穷小量的定义可知C选项正确.因此D选项必不正确.

【分析】当x→+∞时，x可以取到之间的所有值（其中k为正整数且趋于+∞），因此sinx取1到-1之间的所有值，即当x→+∞时，函数y=sinx的极限不存在.我们把它称为：当x→+∞时，sinx振荡无极限.

例5 下列命题正确的是（ ）.

A.无穷小量的倒数是无穷大量 B.无穷小量是绝对值很小很小的数

C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量

【分析】由于数零是无穷小量中唯一的数，所以A不正确，但如果限制无穷小量不取零，则它的倒数为无穷大量.由于绝对值很小很小的“数”其极限值不为零，排除B选项.按无穷小量的定义可知C选项正确.因此D选项必不正确.

【分析】当x→+∞时，x可以取到之间的所有值（其中k为正整数且趋于+∞），因此sinx取1到-1之间的所有值，即当x→+∞时，函数y=sinx的极限不存在.我们把它称为：当x→+∞时，sinx振荡无极限.

例5 下列命题正确的是（ ）.

A.无穷小量的倒数是无穷大量 B.无穷小量是绝对值很小很小的数

C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量

【分析】由于数零是无穷小量中唯一的数，所以A不正确，但如果限制无穷小量不取零，则它的倒数为无穷大量.由于绝对值很小很小的“数”其极限值不为零，排除B选项.按无穷小量的定义可知C选项正确.因此D选项必不正确.

例6 若，，则下式中必定成立的是（ ）.

例6 若，，则下式中必定成立的是（ ）.

例6 若，，则下式中必定成立的是（ ）.

【分析】因为两个无穷大量之和不一定是无穷大量，例如，，当x→1时，都是无穷大量，但f（x）+g（x）=1，所以A与C选项都不一定成立.同理，两个无穷大量之差也不一定是无穷小量.例如，，，当x→1时都是无穷大量，但f（x）-g（x）=-1，所以B选项也不一定成立.选项D显然是正确的.

例7 当x→0时，sin（2x+x²）与x比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】两个无穷小量的比较是求它们比的极限.

【分析】因为两个无穷大量之和不一定是无穷大量，例如，，当x→1时，都是无穷大量，但f（x）+g（x）=1，所以A与C选项都不一定成立.同理，两个无穷大量之差也不一定是无穷小量.例如，，，当x→1时都是无穷大量，但f（x）-g（x）=-1，所以B选项也不一定成立.选项D显然是正确的.

例7 当x→0时，sin（2x+x²）与x比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】两个无穷小量的比较是求它们比的极限.

【分析】因为两个无穷大量之和不一定是无穷大量，例如，，当x→1时，都是无穷大量，但f（x）+g（x）=1，所以A与C选项都不一定成立.同理，两个无穷大量之差也不一定是无穷小量.例如，，，当x→1时都是无穷大量，但f（x）-g（x）=-1，所以B选项也不一定成立.选项D显然是正确的.

例7 当x→0时，sin（2x+x²）与x比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】两个无穷小量的比较是求它们比的极限.

因为 所以应选D选项.

例8 当x→0时，x²与sinx比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】用等价无穷小量代换sinx～x，所以应选A选项.

因为 所以应选D选项.

例8 当x→0时，x²与sinx比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】用等价无穷小量代换sinx～x，所以应选A选项.

因为 所以应选D选项.

例8 当x→0时，x²与sinx比较是（ ）.

A.较高阶的无穷小量 B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶的无穷小量

【分析】用等价无穷小量代换sinx～x，所以应选A选项.

例9 当x→∞时，f（x）与是等价无穷小量，则

例9 当x→∞时，f（x）与是等价无穷小量，则

例9 当x→∞时，f（x）与是等价无穷小量，则

【分析】由等价无穷小的定义有，，因此有，则有，所以应填4.

【分析】由等价无穷小的定义有，，因此有，则有，所以应填4.

【分析】由等价无穷小的定义有，，因此有，则有，所以应填4.

例10 当x→0时，若ax²与为等价无穷小量，则必有a=.

例10 当x→0时，若ax²与为等价无穷小量，则必有a=.

例10 当x→0时，若ax²与为等价无穷小量，则必有a=.

【分析】 因为，所以，应填

例11 下列极限中，正确的是（ ）.

【分析】 因为，所以，应填

例11 下列极限中，正确的是（ ）.

【分析】 因为，所以，应填

例11 下列极限中，正确的是（ ）.

【分析】重要极限的结构式也可以理解为

【分析】重要极限的结构式也可以理解为

【分析】重要极限的结构式也可以理解为

其中无穷小量是当时，方块中的变量是无穷小量.因此A、D选项不正确，选项B因系数为，所以其极限值为，因此应选C选项.

例12 下列等式成立的是（ ）.

其中无穷小量是当时，方块中的变量是无穷小量.因此A、D选项不正确，选项B因系数为，所以其极限值为，因此应选C选项.

例12 下列等式成立的是（ ）.

其中无穷小量是当时，方块中的变量是无穷小量.因此A、D选项不正确，选项B因系数为，所以其极限值为，因此应选C选项.

例12 下列等式成立的是（ ）.

【分析】由于结构式中的方块里的变量必须相同且为无穷小量，所以对选项A有，对于选项B则有因此选B选项.选项C和D必不正确.

【分析】由于结构式中的方块里的变量必须相同且为无穷小量，所以对选项A有，对于选项B则有因此选B选项.选项C和D必不正确.

【分析】由于结构式中的方块里的变量必须相同且为无穷小量，所以对选项A有，对于选项B则有因此选B选项.选项C和D必不正确.

例13

例13

例13

【分析】利用重要极限Ⅰ，则有，所以应填

【分析】利用重要极限Ⅰ，则有，所以应填

【分析】利用重要极限Ⅰ，则有，所以应填

例14 求极限 (https://www.xing528.com)

【分析】含三角函数的极限式应优先考虑利用重要极限Ⅰ.

例14 求极限

【分析】含三角函数的极限式应优先考虑利用重要极限Ⅰ.

例14 求极限

【分析】含三角函数的极限式应优先考虑利用重要极限Ⅰ.

解法一

解法一

解法一

解法二

解法二

解法二

例15 求极限

【分析】 含反三角函数式的极限可用变量代换化为三角函数式的重要极限.

例15 求极限

【分析】 含反三角函数式的极限可用变量代换化为三角函数式的重要极限.

例15 求极限

【分析】 含反三角函数式的极限可用变量代换化为三角函数式的重要极限.

解法一 令arcsin2x=t，则2x=sint，所以

解法二 等价无穷小量代换：arcsin2x～2x（x→0）

解法一 令arcsin2x=t，则2x=sint，所以

解法二 等价无穷小量代换：arcsin2x～2x（x→0）

解法一 令arcsin2x=t，则2x=sint，所以

解法二 等价无穷小量代换：arcsin2x～2x（x→0）

所以

等价无穷小量代换显然比变量代换更为简捷，希望考生能熟练掌握.

例16 下列各极限中，正确的是（ ）.

所以

等价无穷小量代换显然比变量代换更为简捷，希望考生能熟练掌握.

例16 下列各极限中，正确的是（ ）.

所以

等价无穷小量代换显然比变量代换更为简捷，希望考生能熟练掌握.

例16 下列各极限中，正确的是（ ）.

【分析】 重要极限Ⅱ的结构式还可以理解为因此对选项A，，选项B显然不正确，而选项C有 所以应选D选项.

【分析】 重要极限Ⅱ的结构式还可以理解为因此对选项A，，选项B显然不正确，而选项C有 所以应选D选项.

【分析】 重要极限Ⅱ的结构式还可以理解为因此对选项A，，选项B显然不正确，而选项C有 所以应选D选项.

例17 求

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

例17 求

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

例17 求

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

解

解

解

例18 证明：，其中α，β为不为零的实数.

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

例18 证明：，其中α，β为不为零的实数.

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

例18 证明：，其中α，β为不为零的实数.

【分析】 利用重要极限Ⅱ.

证明 因为

证明 因为

证明 因为

当x→∞时，则有，因此例18的另一种形式为

注意：这两个结果可以当公式直接使用，请考生记住.

例19 求下列各题的极限.

当x→∞时，则有，因此例18的另一种形式为

注意：这两个结果可以当公式直接使用，请考生记住.

例19 求下列各题的极限.

当x→∞时，则有，因此例18的另一种形式为

注意：这两个结果可以当公式直接使用，请考生记住.

例19 求下列各题的极限.

【分析】本题的三个极限均属于1∞型不定式，故应利用重要极限Ⅱ求解.

解 （1）将原式写成

【分析】本题的三个极限均属于1∞型不定式，故应利用重要极限Ⅱ求解.

解 （1）将原式写成

【分析】本题的三个极限均属于1∞型不定式，故应利用重要极限Ⅱ求解.

解 （1）将原式写成

（2）注意到重要极限Ⅱ的结构式则有

（2）注意到重要极限Ⅱ的结构式则有

（2）注意到重要极限Ⅱ的结构式则有

（3）注意到题（3）中的底数与题（2）中的底数的关系则有

（3）注意到题（3）中的底数与题（2）中的底数的关系则有

（3）注意到题（3）中的底数与题（2）中的底数的关系则有

本题也可以用下面的方法求解

本题也可以用下面的方法求解

本题也可以用下面的方法求解

例20 设，求常数a.

【分析】 此例属于重要极限Ⅱ的反问题.

例20 设，求常数a.

【分析】 此例属于重要极限Ⅱ的反问题.

例20 设，求常数a.

【分析】 此例属于重要极限Ⅱ的反问题.

解 由于，由题意可知e^3a=8，3a=ln8=3ln2，所以a=ln2.

解 由于，由题意可知e^3a=8，3a=ln8=3ln2，所以a=ln2.

解 由于，由题意可知e^3a=8，3a=ln8=3ln2，所以a=ln2.

例21 求下列函数的极限（型不定式）.

例21 求下列函数的极限（型不定式）.

例21 求下列函数的极限（型不定式）.

【分析】 上述两题的分子与分母都以零为极限，这类题目称为型不定式，是极限计算中基本的也是十分重要的类型.商的极限运算法则不适用，但是，注意到x→x₀即（x-x₀）→0，但x-x₀≠0这一实质，可以消去分子与分母中的零因子而求得极限.这种方法通常称为消去零因子法.

【分析】 上述两题的分子与分母都以零为极限，这类题目称为型不定式，是极限计算中基本的也是十分重要的类型.商的极限运算法则不适用，但是，注意到x→x₀即（x-x₀）→0，但x-x₀≠0这一实质，可以消去分子与分母中的零因子而求得极限.这种方法通常称为消去零因子法.

【分析】 上述两题的分子与分母都以零为极限，这类题目称为型不定式，是极限计算中基本的也是十分重要的类型.商的极限运算法则不适用，但是，注意到x→x₀即（x-x₀）→0，但x-x₀≠0这一实质，可以消去分子与分母中的零因子而求得极限.这种方法通常称为消去零因子法.

解 （1）

（2）分式中含有根式的零因子时，通常乘以其共轭根式.

解 （1）

（2）分式中含有根式的零因子时，通常乘以其共轭根式.

解 （1）

（2）分式中含有根式的零因子时，通常乘以其共轭根式.

例22 求下列函数的极限

例22 求下列函数的极限

例22 求下列函数的极限

【分析】 这三题的分子与分母都趋于∞，称为型不定式，也是极限计算中基本的和十分重要的类型之一.基本解法之一是消去“∞”因子，通常是分别提取分子与分母中最高阶无穷因子.

【分析】 这三题的分子与分母都趋于∞，称为型不定式，也是极限计算中基本的和十分重要的类型之一.基本解法之一是消去“∞”因子，通常是分别提取分子与分母中最高阶无穷因子.

【分析】 这三题的分子与分母都趋于∞，称为型不定式，也是极限计算中基本的和十分重要的类型之一.基本解法之一是消去“∞”因子，通常是分别提取分子与分母中最高阶无穷因子.

解 （1）

解 （1）

解 （1）

（3）利用等差数列的求和公式，再消去“∞”因子.

（3）利用等差数列的求和公式，再消去“∞”因子.

（3）利用等差数列的求和公式，再消去“∞”因子.

例23 求下列函数的极限（“∞-∞”型不定式）.

例23 求下列函数的极限（“∞-∞”型不定式）.

例23 求下列函数的极限（“∞-∞”型不定式）.

【分析】这是“∞-∞”型的不定式，必须化为型或型不定式求解.常用的方法有通分化简和根式有理化等.

【分析】这是“∞-∞”型的不定式，必须化为型或型不定式求解.常用的方法有通分化简和根式有理化等.

【分析】这是“∞-∞”型的不定式，必须化为型或型不定式求解.常用的方法有通分化简和根式有理化等.

解 （1）

解 （1）

解 （1）

例24 计算

例24 计算

例24 计算

【分析】这类“0·∞”型的不定式应化为型或型，也可以用等价无穷小量代换求解.

【分析】这类“0·∞”型的不定式应化为型或型，也可以用等价无穷小量代换求解.

【分析】这类“0·∞”型的不定式应化为型或型，也可以用等价无穷小量代换求解.

解法一 化为型，用重要极限Ⅰ计算.

解法一 化为型，用重要极限Ⅰ计算.

解法一 化为型，用重要极限Ⅰ计算.

解法二 用等价无穷小量代换.

解法二 用等价无穷小量代换.

解法二 用等价无穷小量代换.