复合函数与初等函数|高数详解

1.复合函数

定义 设y是u的函数 y=f（u）而u又是x的函数 u=φ（x）

又设X表示函数u=φ（x）的定义域的一个子集，如果对于X上的每一个取值x所对应的u值，函数y=f（u）有定义，则y通过u=φ（x）而成为x的函数，记为

y=f（φ（x））

这个函数叫做由函数y=f（u）及u=φ（x）复合而成的复合函数，它的定义域为X，u叫做中间变量.

所以，复合函数实际就是将中间变量代入后所构成的函数.

注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的，例如，函数y=arcsinu及u=x²+3就不能复合成一个复合函数.因为对于u=x²+3的定义域（-∞，+∞）内的任何值x所对应的u值（都大于或等于3），y=arcsinu都没有定义.(www.xing528.com)

复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有更多的中间变量，如u，v，w，t等.

在求函数的导数时，我们往往要反过来考虑问题，即一个函数是由哪几个基本初等函数（或简单函数）复合而成的.

2.初等函数

所谓初等函数是指由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成且能用一个分析式表示的函数.例如，函数，y，，y=cos²（lnx）等都是初等函数.

所谓初等函数是指由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成且能用一个分析式表示的函数.例如，函数，y，，y=cos²（lnx）等都是初等函数.

所谓初等函数是指由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成且能用一个分析式表示的函数.例如，函数，y，，y=cos²（lnx）等都是初等函数.