高等数学：常数、幂函数及其图形特点

时间：2023-08-01 理论教育版权反馈

【摘要】：1.常数y=C它的定义域是（-∞，+∞），图形是一条平行于x轴的直线.2.幂函数y=xμ（μ为实数）它的定义域随μ值的不同而不同，但不管μ的值是多少，它在（0，+∞）内总是有定义的.当μ＞0时，它的图形如图1-1所示，不论μ为何值，它的图形都经过原点（0，0）和点（1，1），在（0，+∞）内严格单调增加且无界.当μ＜0时，它的图形如图1-2所示，在（0，+∞）内严格单调减少且无界，曲线以x轴和y轴

高等数学：常数、幂函数及其图形特点

1.常数

y=C

它的定义域是（-∞，+∞），图形是一条平行于x轴的直线.

2.幂函数

y=x^μ（μ为实数）

它的定义域随μ值的不同而不同，但不管μ的值是多少，它在（0，+∞）内总是有定义的.

当μ＞0时，它的图形如图1-1所示，不论μ为何值，它的图形都经过原点（0，0）和点（1，1），在（0，+∞）内严格单调增加且无界.

当μ＜0时，它的图形如图1-2所示，在（0，+∞）内严格单调减少且无界，曲线以x轴和y轴为渐近线，都经过点（1，1）.

图 1-1

图 1-2

3.指数函数

y=a^x（a＞0，a≠1）

它的定义域是（-∞，+∞），由于不论x为何值，总有a^x＞0，且a⁰=1，所以它的图形总是在x轴的上方，且经过点（0，1）.

当a＞1时，函数严格单调增加且无界，曲线以x轴的负半轴为渐近线.

当0＜a＜1时，函数严格单调减少且无界，曲线以x轴的正半轴为渐近线，如图1-3所示.

以无理数e=2.7182818…为底的指数函数y=e^x是微积分中常用的指数函数.

4.对数函数

y=log_ax（a＞0，a≠1）

它的定义域为（0，+∞），不论a为何值，对数函数的图形都经过点（1，0）.

图 1-3

当a＞1时，函数严格单调增加且无界，曲线以y轴的负半轴为渐近线.

当0＜a＜1时，函数严格单调减少且无界，曲线以y轴的正半轴为渐近线，如图1-4所示.

以无理数e为底的对数函数y=log_ex叫自然对数，简记为y=lnx.

自然对数在微积分中是比较常用的.

5.三角函数

常用的三角函数有以下四个：

y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

在微积分中，三角函数的自变量x一律以“rad（弧度）”为单位.例如x=1，就表示x等于1rad（57°17'44.8″）.

函数y=sinx的定义域为（-∞，+∞），是奇函数，且是周期等于2π的周期函数，其图形如图1-5所示.

函数y=cosx的定义域为（-∞，+∞），是偶函数，且是周期等于2π的周期函数，其图形如图1-6所示.

图 1-4

图 1-5(www.xing528.com)

图 1-6

因为|sinx|≤1，|cosx|≤1，所以它们都是有界函数.

函数y=tanx的定义域是除去点的其他实数.它是奇函数，且是周期为π的周期函数，其图形如图1-7所示.

函数y=cotx的定义域是除去点x=kπ（k=0，±1，±2，…）的其他实数.它是奇函数，且是周期为π的周期函数，其图形如图1-8所示.

它们是作为相应三角函数的反函数定义的.由于y=sinx，y=cosx在定义域内不单调，它们的反函数不唯一，所以对于y=sinx，只考虑，对于y=cosx，只考虑x∈[0，π]，以使它们单调，并使其反函数存在.此时我们称反正弦函数和反余弦函数取主值，即，0≤arccosx≤π，它们的图形分别为图1-9和图1-10中的实线部分.