高等数学- 反函数简介：定义、解法

定义 设已知函数为 y=f（x） ①

如果由此解出的 x=φ（y） ②

是一个函数，则称它为f（x）的反函数，记为x=f^-1（y），并称f（x）为直接函数.

由于习惯用字母x表示自变量，而用字母y表示函数，为了与习惯一致，通常将式②中的自变量y改写成x，而将函数x改写成y，于是式①的反函数就变为

y=φ（x） ③

记为y=f^-1（x）.

当然我们也可以说y=f（x）是y=f^-1（x）的反函数，也就是说它们互为反函数.

注意：函数x=φ（y）与y=φ（x）是同一个函数，所以当x=φ（y）是y=f（x）的反函数时，y=φ（x）也是y=f（x）的反函数.

明确了反函数的定义之后，还应知道在什么条件下直接函数y=f（x）有反函数存在.

以下的反函数存在定理可以回答这个问题.

定理 如果函数 y=f（x），D（f）=X，Z（f）=Y

是严格单调增加（或减少）的，则它必定存在反函数

x=φ（y），D（φ）=Y，Z（φ）=X(www.xing528.com)

并且也是严格单调增加（或减少）的.

求反函数的步骤如下所述.

第一步：从直接函数y=f（x）中解出

x=φ（y）

看它是否能成为函数.

第二步：如果x=φ（y）是函数，将字母x换成y，将字母y换成x，得

y=φ（x）

这就是y=f（x）的反函数.

结论：

（1）直接函数y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图形，必定对称于直线y=x（一般地，二者是不同的函数，其图形是不同的曲线）.

（2）直接函数y=f（x）与它的反函数x=f^-1（y）是同一条曲线（二者是不同的函数，但是它们的图形是同一条曲线）.

根据这个结论，当我们知道了直接函数y=f（x）的图形之后，就可以利用对称于直线y=x的性质画出其反函数y=f^-1（x）的图形；但若要画反函数x=f^-1（y）的图形，则就是直接函数y=f（x）的图形.