高等数学：函数的简单性质及其应用

1.函数的单调性

定义 设函数y=f（x）在区间（a，b）内有定义，如果对于（a，b）内的任意两点x₁和x₂，当x₁＜x₂时，有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在（a，b）内是单调增加的；如果当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）在（a，b）内是严格单调增加的.

如果对于（a，b）内的任意两点x₁和x₂，当x₁＜x₂时，有f（x₁）≥f（x₂），则称函数f（x）在（a，b）内是单调减少的；如果当x₁＜x₂时，有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）在（a，b）内是严格单调减少的.

注意：单调性是对一个区间而不是对一个点来讲的.在讨论函数的单调性时，必须指出它的单调区间.例如，函数y=x²在区间（0，+∞）内是单调增加的，在区间（-∞，0）内是单调减少的，而在区间（-∞，+∞）内不是单调的.

2.函数的奇偶性

定义 如果对于函数y=f（x）定义域中的任一点x，恒有

f（-x）=f（x）

则称f（x）为偶函数.

如果对于定义域中的任一点x，恒有(www.xing528.com)

f（-x）=-f（x）

则称f（x）为奇函数.

注意：很多函数是没有奇偶性的，切不可认为任何函数都具有奇偶性.例如，函数y=x²+sinx就既不是奇函数，也不是偶函数.

3.函数的有界性

定义设函数y=f（x）在区间（a，b）内有定义，如果存在一个正数M，使得对于（a，b）内的任意一点x，总有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（a，b）内是有界的.否则，称f（x）在（a，b）内是无界的.

4.函数的周期性

定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得关系式f（x+T）=f（x）对于（-∞，+∞）内的任何x都成立，则称f（x）为周期函数，称满足这个等式的最小正数T为函数的周期.

例如，函数y=sinx就是一个周期函数，周期T=2π.