高等数学：函数的概念及定义

1.函数的定义

定义设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x的变化而变化.如果变量x在实数集合D中取每一数值时，变量y依照某一规律f都有一个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记为

y=f（x）

其中，x叫自变量；y叫因变量或函数.

有时为了表示几个不同的函数，还可以用φ（x），g（x），F（x）等来表示函数.函数关系也可记作y=y（x），此时等号左边的y表示函数，右边的y表示对应规则.

在上述函数的定义中，很重要的一点是：自变量x在D上取每一数值时，函数y都有确定的数值与之对应，此时我们称函数是有定义的.

定义域 在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围D称为函数的定义域，记为D（f）.

值域 因变量y的取值范围称为函数的值域，记为Z（f）.

当自变量x取某一个定值a时，函数y=f（x）的对应值记为f（a），有时也记为y|_x=a.(www.xing528.com)

2.函数的表示法

常用的函数表示法有三种：解析法、表格法和图示法.

（1）解析法 对自变量和常数施加四则运算、乘幂、指数运算、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式.用解析表达式表示一个函数就称为函数的解析法，也叫公式法.高等数学中讨论的函数，大多由解析法表示，这是因为对解析式子可以进行各种运算，便于研究函数的性质.

（2）表格法 在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，函数的这种表示法称为表格法.例如，我们所用的各种数学用表——平方表、立方表、对数表、三角函数表等，都是用表格法表示的函数关系.在研究社会经济现象时，常采用表格法.

（3）图示法 设y=f（x）是一个给定的函数，定义域是D（f）.由于自变量和函数都取实数值，因而我们可以在平面上取定一个直角坐标系Oxy，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的点表示函数值.于是，在D（f）内的每一个自变量的值x及相应的函数值f（x）就确定了该平面直角坐标系中的一个点P（x，y），当x在D（f）内变动时，点P便在坐标平面上移动，一般会得到平面上的一条曲线，这就是用图示法表示函数.

函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，通常是三种方法配合使用.

3.函数的图像

用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像.用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的.