用圆规和直尺，证明圆可成正方形

为了帮助大家了解，我先提出一个比较简单的题目。如果给出来一个长方形，一边长是a，一边长是h，那么面积就是a×h。可不可以只用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形？答案是可以。这道题目并不难，懂一点几何的高中生可以试试把它解开。给一个三角形，可不可以找出一个面积相等的正方形呢？那也可以。只有直线的图形可以吗？答案是不一定。在几何学上，我们可以找到许多包括圆弧的图形，也可以化成面积相等的正方形，有一个例子，一个弯弯的新月形可以画成面积相等的正方形。那么回到我们的问题：给出一个圆形，在几何学上可不可以只用直尺和圆规画成一个面积相等的正方形？换句话说，假如一个圆的半径是1，我们可不可以用圆规和直尺画出一根长度是 的线段？答案是不可以。大家一定会反问我：你怎么知道不可以？你不会也许别人会。

在物理学和工程学上，当我们说一件事情是可能的时候，就必须证明那的确可能。举例来说，我说我可以提20公斤重的东西，为了证明这句话，我做给你看就好了。但是，如果我说我不可能提100公斤重的东西，要怎么证明给你看呢？你怎么会相信我不是做假呢？难道要我尝试去提，一直到我倒下来才算吗？在数学、物理学和工程学上，当我们说一件事情是不可能的时候，必须有严谨的证据证明我做不到，你也做不到，没有人做得到，今天没有人做得到，明天、一万年以后也没有人做得到。不过，这不是我今天要讲的题目，我要讲的是在几何学上，两三千年前大家就问的题目——可不可以用圆规和直尺画出一个和圆面积相等的正方形呢？答案是不可能。

为了帮助大家了解，我先提出一个比较简单的题目。如果给出来一个长方形，一边长是a，一边长是h，那么面积就是a×h。可不可以只用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形？答案是可以。这道题目并不难，懂一点几何的高中生可以试试把它解开。给一个三角形，可不可以找出一个面积相等的正方形呢？那也可以。只有直线的图形可以吗？答案是不一定。在几何学上，我们可以找到许多包括圆弧的图形，也可以化成面积相等的正方形，有一个例子，一个弯弯的新月形可以画成面积相等的正方形。那么回到我们的问题：给出一个圆形，在几何学上可不可以只用直尺和圆规画成一个面积相等的正方形？换句话说，假如一个圆的半径是1，我们可不可以用圆规和直尺画出一根长度是 的线段？答案是不可以。大家一定会反问我：你怎么知道不可以？你不会也许别人会。

在物理学和工程学上，当我们说一件事情是可能的时候，就必须证明那的确可能。举例来说，我说我可以提20公斤重的东西，为了证明这句话，我做给你看就好了。但是，如果我说我不可能提100公斤重的东西，要怎么证明给你看呢？你怎么会相信我不是做假呢？难道要我尝试去提，一直到我倒下来才算吗？在数学、物理学和工程学上，当我们说一件事情是不可能的时候，必须有严谨的证据证明我做不到，你也做不到，没有人做得到，今天没有人做得到，明天、一万年以后也没有人做得到。不过，这不是我今天要讲的题目，我要讲的是在几何学上，两三千年前大家就问的题目——可不可以用圆规和直尺画出一个和圆面积相等的正方形呢？答案是不可能。

为了帮助大家了解，我先提出一个比较简单的题目。如果给出来一个长方形，一边长是a，一边长是h，那么面积就是a×h。可不可以只用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形？答案是可以。这道题目并不难，懂一点几何的高中生可以试试把它解开。给一个三角形，可不可以找出一个面积相等的正方形呢？那也可以。只有直线的图形可以吗？答案是不一定。在几何学上，我们可以找到许多包括圆弧的图形，也可以化成面积相等的正方形，有一个例子，一个弯弯的新月形可以画成面积相等的正方形。那么回到我们的问题：给出一个圆形，在几何学上可不可以只用直尺和圆规画成一个面积相等的正方形？换句话说，假如一个圆的半径是1，我们可不可以用圆规和直尺画出一根长度是 的线段？答案是不可以。大家一定会反问我：你怎么知道不可以？你不会也许别人会。(www.xing528.com)

在物理学和工程学上，当我们说一件事情是可能的时候，就必须证明那的确可能。举例来说，我说我可以提20公斤重的东西，为了证明这句话，我做给你看就好了。但是，如果我说我不可能提100公斤重的东西，要怎么证明给你看呢？你怎么会相信我不是做假呢？难道要我尝试去提，一直到我倒下来才算吗？在数学、物理学和工程学上，当我们说一件事情是不可能的时候，必须有严谨的证据证明我做不到，你也做不到，没有人做得到，今天没有人做得到，明天、一万年以后也没有人做得到。不过，这不是我今天要讲的题目，我要讲的是在几何学上，两三千年前大家就问的题目——可不可以用圆规和直尺画出一个和圆面积相等的正方形呢？答案是不可能。

让我从头解释：大家都知道什么是整数，1、2、3、4、5、6、7、8、9……都是整数。大家都知道什么是有理数，1、3、22/7都是有理数。有理数就是一个整数被另外一个整数除，也可以用小数表示，例如：1/4是0.25。一个也许不是每个人都听过的概念是“无理数”——不能用分数表达出来的数字，例如：=1.7724……当我们用小数把一个无理数表示出来的时候，一定是有无穷个数字，而且这个数字不会重复。你怎么知道不可以写成一个分数呢？这就需要数学上的证明了。我相信高中生学代数时应该学过这个概念，也可能看过怎样去证明是一个无理数。那么π呢？π不但是一个无理数，而且开个玩笑说，是一个比无理数更无理的数，叫作“超越数”。

让我从头解释：大家都知道什么是整数，1、2、3、4、5、6、7、8、9……都是整数。大家都知道什么是有理数，1、3、22/7都是有理数。有理数就是一个整数被另外一个整数除，也可以用小数表示，例如：1/4是0.25。一个也许不是每个人都听过的概念是“无理数”——不能用分数表达出来的数字，例如：=1.7724……当我们用小数把一个无理数表示出来的时候，一定是有无穷个数字，而且这个数字不会重复。你怎么知道不可以写成一个分数呢？这就需要数学上的证明了。我相信高中生学代数时应该学过这个概念，也可能看过怎样去证明是一个无理数。那么π呢？π不但是一个无理数，而且开个玩笑说，是一个比无理数更无理的数，叫作“超越数”。

让我从头解释：大家都知道什么是整数，1、2、3、4、5、6、7、8、9……都是整数。大家都知道什么是有理数，1、3、22/7都是有理数。有理数就是一个整数被另外一个整数除，也可以用小数表示，例如：1/4是0.25。一个也许不是每个人都听过的概念是“无理数”——不能用分数表达出来的数字，例如：=1.7724……当我们用小数把一个无理数表示出来的时候，一定是有无穷个数字，而且这个数字不会重复。你怎么知道不可以写成一个分数呢？这就需要数学上的证明了。我相信高中生学代数时应该学过这个概念，也可能看过怎样去证明是一个无理数。那么π呢？π不但是一个无理数，而且开个玩笑说，是一个比无理数更无理的数，叫作“超越数”。