【科学思维】国王的难题：黄金皇冠是否掺杂银和铜？

阿基米德是公元前3世纪古希腊非常有名的一位数学家、物理学家和工程师。某一天，国王给他出了道难题。国王拿了两公斤的纯金交给工匠，请他打造一顶皇冠。皇冠拿回来的时候，金光闪闪，质量也正好是两公斤。可是，国王怀疑这个工匠偷用银和铜取代部分金子掺在皇冠里，于是要阿基米德帮他找出真相。

若从皇冠的光泽和质量来看，实在难以做出判断。这个问题的关键在于，金比银、铜重，金的密度是19.3克/立方厘米，银的密度是10.5克/立方厘米，铜的密度是8.9克/立方厘米。倒过来说，如果有两顶皇冠质量都是两公斤，那么用金打造的皇冠体积比较小，银皇冠体积较大。两公斤的金体积是104立方厘米，两公斤的银体积是190立方厘米，阿基米德只要把皇冠的体积算出来，工匠有没有偷金子的答案就立见分晓。

问题又来了。一块方正的金块，体积很容易算出来，皇冠有棱有角，还有雕花，该怎么算出它的体积呢？阿基米德想了好久都没有得到答案。有一天，他到公共浴室洗澡，踏进澡盆的时候，看到盆里的水往外溢，灵感就来了。浴盆里溢出的水的体积，不正是浸在浴盆里的身体部分的体积吗？换句话说，他的身体把浴盆里的水挤到盆外，挤了多少呢？正是他身体那部分的体积。所以，阿基米德只要找一盆满满的水，把皇冠放进去，量度溢出来的水的体积，就是皇冠的体积了。

阿基米德高兴得不得了，衣服都忘记穿，光着身子就从公共浴室往外冲，在街上裸奔大叫：“我找到了！我找到了！”正是我们常说的“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”。

宋代词人辛弃疾有首《青玉案》，其中有几句最脍炙人口：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”意思是，在人群里千方百计去寻找一个人，突然回头，原来这人正在灯火稀落的地方。意境真美。

网络上有个大家常用的搜索引擎——百度，名字就是出于“众里寻他千百度”这句话。

王国维在《人间词话》里也引用了辛弃疾的这个句子。王国维说，要在学问上、事业上成功必须经过三个阶段，分别有三句词来描写。第一个阶段是晏殊写的“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，说的是做学问、做大事业必须要站得高、看得远，有崇高的理想和目标，这往往也是一条孤独的路。第二个阶段是北宋词人柳永写的“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，是说不怕困难、不怕辛苦，牺牲投入，毫无怨言。第三个阶段是南宋词人辛弃疾写的“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，不正是阿基米德大声呼叫的“我找到了”吗？

前面提到金子的纯度，我再做些补充。我们常说24K金就是纯金，18K金和14K金代表不纯且纯度不同。K这个字母来自Karat：24K金是100%的纯金；18K金是18被24除——75%的纯金；14K金是14被24除——58%的纯金。(www.xing528.com)

Karat有时候也拼成Carat，但carat又有另一个意思，代表质量单位0.2克。所以当我们谈到钻石或其他宝石质量的时候，会说那是6克拉（carat），其实就等于1.2克。

阿基米德用他的方法发现皇冠体积比两公斤纯黄金的体积要大，国王因此断定那个工匠的确偷工减料，而予以严厉惩罚。阿基米德的故事还没有结束，理论上来说，前面讲的都对，但是从实际来看，尤其在三千多年前，实验能不能做得这么精确？首先，我们要把盆子里的水加到满，不差一滴；再来，要把溢出的水全部搜集起来，不能流失几滴到地上。假如工匠在两公斤的金子里只偷了10克黄金，换成10克的银子，体积只增加0.43立方厘米，也就是只溢出来0.43毫升的水，实在很难精确算出。相信很多人曾经听过阿基米德的这个故事，但你注意到这个细节了吗？

阿基米德在浴盆洗澡时发现，任何物体只要放在水里，该物体排开的总水量就是物体的体积。事实上，大家在高中时都听过的阿基米德原理，还有重要的下半段，就是当物体放在水里时，水会对物体产生一个向上推的浮力，浮力等于物体排开的水的重量。举例来说，两公斤的皇冠体积是104立方厘米，放在水里，会排开104立方厘米的水，水的密度是1克/立方厘米，104立方厘米的水，质量就是104克，所以浮力就是104克。因此，当我们用秤称量皇冠在水里的质量时，结果就是：

2000克-104克=1896克

浮力正是让一个软木塞、一个气球、一艘船可以漂浮的原因。当一艘船的下半部在水里排开的水的质量等于整艘船的质量时，船就可以浮起来了。如何利用浮力来判断皇冠里有没有掺银呢？方法是拿一块两公斤重的纯金和皇冠吊在天平两端，当两者质量相同时，天平就是平衡的。当你把天平两端的金块和皇冠放进水里，如果两者体积相同，浮力就会相同，天平还是保持平衡；如果皇冠体积较大，浮力也会比较大，天平就会失去平衡。

谈到水的浮力，我想顺便提一提三国时代曹冲的故事。曹冲是曹操的儿子，他是个神童。曹冲5岁时，孙权送给曹操一头象。曹操想知道这头象有多重，但是上哪儿找那么大的秤呢？曹操的手下都想不出办法。这时曹冲说，先把大象放在小船上，把水到达船舷的水位记下来，然后把大象拉回岸上，再往小船里放一块块的石头，当水到达船舷的水位和大象在船里的一样时，就表示在两个情形下，水的浮力是一样的，那么石头的质量就等于大象质量。这个故事虽然广为流传，国学大师陈寅恪却对故事的真实性提出了质疑。他说，曹冲死的那年，孙权只占有今天的江苏、浙江、安徽一带，在当时那一带没有大象，直到几年后，孙权派人到越南、广西一带做官，才可能从那边带回一头象送给曹操。所以，即使是讲故事也不能信口开河。

不久前，有网友指出在电影《赤壁》里，孙权的妹妹孙尚香跟诸葛亮请缨上阵时说：“天下兴亡，匹女有责。”这句话是从“天下兴亡，匹夫有责”来的，但这是一千多年后明朝顾炎武讲的话，怎么会在三国时代就出现？治学不够严谨，笑话就出来了。