新课程高中数学教学实施导航-学生主动学习的实现方式

这里，我们将对教师如何积极探索适合高中学生的教学方式，丰富和改进学生的数学学习，以及应特别注意的问题作进一步的阐述。

1.如何把握新增内容的教学

这是教师在新课程实施中遇到的一个挑战。为此，我们首先要认识和理解为什么要增加这些新的内容，在此基础上，把握好《标准》对这些内容的定位，积极探索和研究如何设计和组织教学。

例如，算法是高中数学教学中新增加的内容，对于这部分内容的定位，《标准》已作了明确的要求。这就是：结合具体实例，感受、学习和体会算法的基本思想；学习和体验算法的程序框图、基本算法语言；并将算法的思想方法渗透到高中数学的有关内容中，形成分析、解决问题的一种方法。因此，在教学中，应结合实际问题（问题可以是学生熟悉的，如，求地的近似值、求最大公约数或最小公倍数；也可以是新的问题，如，用二分法或切线法求方程根的近似值，等等），通过模仿、操作、探索等过程组织教学，采用集中学习与分散渗透相结合的方式进行。教学中应着重强调使学生体会算法思想、提高逻辑思维能力，不应将算法简单处理成程序语言的学习和程序设计，同时应尽可能通过具体实例的上机实现，帮助学生理解算法思想及其作用。

再如，对于“推理与证明”这块内容，在教学中，可以变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，使学生感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用，提高数学素养。例如，可通过探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系，通过平面上的圆与空间中的球在几何元素和性质上的类比，体会归纳和类比这两种主要的合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用；通过收集法律、医疗、生活中的素材，体会合情推理在日常生活中的意义和作用。结合一些数学实例或生活中的实例（可以让学生自己给出），结合数学文化中“欧几里得《几何原本》与公理化思想”这一选题，体会演绎推理在数学学科及建立理论体系中的重要作用，乃至公理化思想在其他学科，如物理、法律中的应用。

2.如何鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学

前面我们已说过，随着数学教育改革的展开，无论是教学观念，还是教学方法，都在发生变化。但是，在大多数的数学课堂教学中，教师灌输式的讲授，学生以机械的模仿、记忆的方式对待数学学习的状况仍然占主导地位。教师的备课往往把教学看成一部“教案剧”的编导过程，教师自己是导演、主演，最好的学生能当群众演员，一般学生就是观众，整个过程就是教师在活动，这种“独角戏”、“一言堂”忽略了学生在课堂教学中的参与。

为了鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，在备课时不仅要备知识，把自己知道的最多、最好、最生动的东西教给学生，还要考虑如何引导学生参与，应该给学生一些什么，不给什么；先给什么，后给什么；以什么样的形式能给他带来最大的思考空间；怎么提问，在什么时候提什么样的问题，等等。例如，在讲圆锥曲线的时候，不要先讲什么什么曲线，而是给他们看一些图片，或者提前给他们留作业，让他们观察各种桥的形状（可以是实地的，也可以是其他形式的），再提出问题：这些形状所展示的曲线都很美，它们是一样的吗？有什么差别？这不仅使学生参与到学习活动中来，而且使圆锥曲线的学习有了实际背景，同时也看到了它们的具体应用，增强了学生的学习兴趣。

鼓励学生参与的又一方式是发动学生亲自实验，制作有关模型或课件。比如有关正弦曲线的课件，学生在制作的过程中，不仅可以学会正弦曲线的有关知识，而且会有其他方面的感受和体验，教师也可从中选择最好的课件供教学用，从而把更多的精力放在如何调动学生的积极性等其他方面。

在课堂上，要针对不同学生的情况，充分尊重学生的人格和学习上的差异，鼓励学生积极参与。比如对学习有困难、自信心较差的学生，教师在巡视中看到他写出正确答案时可以让他回答或上黑板演示，适时给予表扬和鼓励，让这些学生也体验到成功的乐趣，增强他的自信心。而对喜欢表现自己，心理承受力较强的学生，可以在他出错，并且这种错误又有一定代表性的时候让他回答或上黑板演示，这样，不仅对他，而且对其他学生也有警示作用。此外，还可以提出一个错误的命题或似是而非的命题，称之为“猜想”，让学生来判断正误，甚至可以鼓励学生自己提出“猜想”，让学生自己来介绍，其他学生参与讨论，以激发更多的学生闪现更多的“火花”，而在这过程中，每个学生都能得到“光”和“热”。

在课堂教学中鼓励学生参与时会遇到种种困难，比如：学生七嘴八舌怎么办？“东奔西跑”怎么办？控制不住了怎么办？教学任务完成不了怎么办？等等。对此，我们在备课时首先要加强对教学内容和课时整体上的把握和安排，对核心的概念和内容在时间上留有余地，对每一次所讲内容在教学上的要求有一个清楚的认识，对学生的基础和认知水平有一个比较准确的估计；其次，在观念上也要有转变，因为当我们把学生学习的积极情感调动起来，学生的思维被激活时，学生会积极参与到教学活动中来，也就会提高教与学的效率。同时，我们需要在实施过程中不断探索和积累经验。

3.如何借助几何直观揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用

几何直观能启迪思路、帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，甚至可以说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此，在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考、揭示研究对象的性质和关系，并且学会利用几何直观来学习和理解数学。例如，在函数的学习中，有些对象的函数关系只能图像来表示，如人的心脏随时间变化的规律——心电图，某地在一天内的气韫随时间的变化规律，等等。在工程或许多实际问题中，人们总是希望能画出函数的图形，以便从图形中来了解函数整体的变化情况。又如在导数的学习中，我们可以借助图形，体会和理解导数在研究函数的变化（是增还是减、增减的范围、增减的快慢等问题）中，是一个有力的工具；认识和理解为什么由导数的符号可以判断函数是增是减，为什么由导数绝对值的大小可以判断函数变化得急剧还是缓慢。对于一些只能直接给出函数图形的问题，更能显示几何直观的作用了。再如对于不等式的学习，我们要注重它在刻画区域上的几何意义。此外，还有数系扩充中复数与三角函数、与向量的关系等。

当然，我们也要注意到不能用几何直观来代替证明，因为几何直观可能带来认识上的片面性。例如，对指数函数y＝yx（a＞1）与直线y＝x的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数y＝ax（a＞1）的图形都在直线y＝x的上方，于是，学生可能误认为指数函数y＝ax的图形都在直线y＝x的上方。教学中应避免这种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误。

4.如何处理好形式化表达与揭示数学本质的关系

学习形式化的表达是数学学习的一项基本要求，但是基于高中学生的认知水平，如何处理好数学形式化的表达和对数学本质认识的关系，是新课程实施中需要关注的一个问题。

最典型的是关于“导数及其应用”这部分内容的处理，《标准》中有全新的变化：不讲极限，直接学习导数概念及其应用。教师可能会对这样的处理不适应、不理解——不讲极限怎么讲导数？因为无论是我们在大学学习时，还是以前中学教材的安排，都是先讲数列的极限、函数的极限、函数的连续，再讲导数，导数是一种特殊的极限。《标准》对这部分内容在处理上变化的原因已在本书第三部分的有关内容中作了阐述，其最重要的原因正是为了使学生更好地理解导数的本质，懂得为什么用导数去研究函数的性质更一般、更有效，体验导数在现实生活中的应用。这种让学生在经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，体验和了解导数概念的实际背景，认识瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵的处理方式，可以避免因对形式化极限概念理解困难，影响对导数概念本身的理解。我们在研制过程中曾做了实验，并在一些市、区作过介绍，多数教师都能较快地领悟到这样处理的目的和长处，并认为在具体教学中也是可行的。而且，经历了上述过程，结合自然语言的叙述，再给出导数形式化的符号，就能对导数概念的本质有较好的揭示和理解，也为以后进入高一级学校的学习作了一定的铺垫。对此，教师要有一个从观念到教学方法的转变。

又如算法，算法的概念在不同教材中的描述是不完全相同的，尚无一个统一的定义，而且《标准》对算法内容的要求重点是体会和学习算法的基本思想。因此，我们在算法的教学中，就不宜一开始就给出什么是算法、什么是算法的基本语句的形式化定义，然后再讲例子，去解释或者说明这些概念，而是要通过解决具体的问题，通过对问题解决过程的分析，归纳出算法的一些要素。例如，算法首先是一个程序，是解决一类问题的程序，它有问题的指向性，通过有限步骤可以给出判断等等。在这个过程中使学生体会算法的思想，了解算法的要素和含义，理解程序框图的三种基本逻辑结构——顺序、条件分支、循环，体验和理解基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。还要通过把算法的思想渗透在高中数学的有关内容中，去解决有关问题，并借此不断加深对算法思想的理解。

再如在统计、概率的教学中，会涉及不少概念，如果在高中数学中我们直接给出这些概念的形式化定义，这不仅在数学上是困难的，而且也不符合高中学生的知识水平。例如统计中的一些抽样方法（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样）的引入，一些常见统计方法（如独立性检验、假设检验、聚类分析、回归分析等）的学习，概率中一些概念（随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量、条件概率、两个事件互相独立等）的给出，都是通过具体例子，结合问题的解决，归纳、概括出它们的特征，并根据高中学生的认识水平，对其中一些概念只是作了描述（如随机变量）。因此，在教学中的一个重要问题是，必须把握好例子中的数学含义。例如，在通过例子讲述概率概念的时候，用“某种彩票的中奖率是0.05%”这样的例子是较为合适的，因为它们都是大量可重复的，或近似于大量可重复的试验。然而用“我有95%的把握考上大学”这样的例子就不合适了。因为对一个人来讲，毕业、考大学的次数只有一两次，最多也不过四五次，况且每次发挥得如何，每次考题的内容、风格，每届毕业生的水平等等因素都不相同，不是一个大量可重复或近似于大量可重复的试验，不能用客观事实来确定这句话中的95%。引入这种例子往往会干扰对概念本身的理解。还要注意把握举例的多少，既要避免“一次归纳”（即通过一个例子就得出概念或结论）的处理，也要避免过多的例子。过多的例子可能会对学生造成非本质内容上的干扰，最终影响对概念本质的理解和对基本方法的掌握。

5.如何针对不同内容采用不同的教和学的方式

对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，对于统计内容的教学，就可以较多地采用在教师的指导下，让学生去收集资料、调查研究、实践探究的方式。对于选修系列3、系列4中专题的学习，可在上课之前由教师提供一些配合教材的阅读材料和思考题，在课堂上采用教师讲解和小组讨论、全班交流相结合的教学方式，课后可采用写读书报告、撰写论文等形式。而对必修系列和选修系列1、系列2中的一些可以拓展延伸的内容，比如反函数、复合函数的一般概念，概率中几何概型的计算等，不妨采用在教师引导下自主探究与合作交流相结合的方式，去进一步深层次理解这些内容。对于必修系列和选修系列1、系列2中的内容，尤其是一些核心概念与基本思想（如函数、向量、导数、算法、统计、数形结合、空间观念、随机观念等）的教与学，则在设计和组织教学时，要注重使学生在丰富的背景下、在认知冲突中、在经历知识的形成和发展中展开学习；引导学生通过观察、操作、归纳、类比、思考、探索、交流、反思等行为参与和思维参与活动，去认识、理解和掌握数学知识，学会学习，发展思维能力。

应注意的是在合作学习中，一要做到独立思考与合作学习相结合，不能用合作学习代替学生个体的独立思考，造成部分学生的依赖性，失去合作学习的意义；二要发挥好教师的指导作用，不能放任自流，要对合作学习提出明确的任务和要求；三要进行合理分组，一般来说，可以按照“组内异质，组间同质”的原则来分组，使全班各组在大致相同的水平上开展合作交流。

在学生撰写论文时，要针对不同学生的具体情况，帮助学生合理选择论文题目、构建论文框架。在学生进行调查研究、实践探究时，要帮助学生确定调查对象、调查内容、调查方式和实践探究的线索，提高效率。提供的阅读材料应尽可能贴近学生的经验基础和认知水平。思考题应该是对所学内容理解和掌握的关键所在，也可以是需要学生自己进行推证的问题。

6.如何形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师

有人说，教师的成长＝经验＋反思，这是有一定道理的，因为教学是一个实践性很强的活动，需要积累经验，教师也只有在不断地总结和反思中才能得到提高，逐渐成长起来。但是，我们认为，在迅速发展的现代社会中，在数学科学和教育、心理科学迅速发展的今天，还需加上学习和研究，即教师的成长＝经验＋反思＋学习＋研究。尤其是随着新课程的实施，教师更需要加强学习，更新观念，更新知识（包括数学、教育、心理等各方面）；需要在实践中学习，向其他教师学习，向教育对象学习；需要加强研究，把经验上升为理论，反过来更好地指导教学实践，提高教学效率和质量。(www.xing528.com)

我们知道，在学习中，每个学生有各自的经验基础，有各自的思维方式和认知结构，学生的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程。同样，每个教师也有各自不同的经验基础，有各自的思维方式和认知结构。因此，要形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师，首先要结合自己的特点，对自己的专业发展有一个明确的目标和方向，以及阶段性的目标和任务；其次要很好地回顾一下自己的教学历程，找出自己教学中的长处、优势和特点，找出不足和主要问题，分析其原因，思考扬长避短的策略、途径和方法。重点是对如何进行数学、数学教学理论的学习和实践研究，要有具体的设计和安排。在这过程中，首先要克服惰性，例如对于实践研究来说，写教学日记、周记或作必要的文字记载和分析是十分必要的，但是，由于教学工作的繁忙，往往不能坚持，于是，就把教学中一些很好的理论联系实际的案例、对于教学研究有实证价值的案例或对于教学规律有推广意义的案例放过去了，而这样的案例往往是不可再得的。其次要加强教师之间的合作研究，学习其他教师的教学思想、教学方法和教学研究的方法，这样，就可以既发扬自己所长，又集众人之长，逐渐形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师。

例如，算法是高中数学教学中新增加的内容，对于这部分内容的定位，《标准》已作了明确的要求。这就是：结合具体实例，感受、学习和体会算法的基本思想；学习和体验算法的程序框图、基本算法语言；并将算法的思想方法渗透到高中数学的有关内容中，形成分析、解决问题的一种方法。因此，在教学中，应结合实际问题（问题可以是学生熟悉的，如，求地的近似值、求最大公约数或最小公倍数；也可以是新的问题，如，用二分法或切线法求方程根的近似值，等等），通过模仿、操作、探索等过程组织教学，采用集中学习与分散渗透相结合的方式进行。教学中应着重强调使学生体会算法思想、提高逻辑思维能力，不应将算法简单处理成程序语言的学习和程序设计，同时应尽可能通过具体实例的上机实现，帮助学生理解算法思想及其作用。

再如，对于“推理与证明”这块内容，在教学中，可以变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，使学生感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用，提高数学素养。例如，可通过探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系，通过平面上的圆与空间中的球在几何元素和性质上的类比，体会归纳和类比这两种主要的合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用；通过收集法律、医疗、生活中的素材，体会合情推理在日常生活中的意义和作用。结合一些数学实例或生活中的实例（可以让学生自己给出），结合数学文化中“欧几里得《几何原本》与公理化思想”这一选题，体会演绎推理在数学学科及建立理论体系中的重要作用，乃至公理化思想在其他学科，如物理、法律中的应用。

2.如何鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学

前面我们已说过，随着数学教育改革的展开，无论是教学观念，还是教学方法，都在发生变化。但是，在大多数的数学课堂教学中，教师灌输式的讲授，学生以机械的模仿、记忆的方式对待数学学习的状况仍然占主导地位。教师的备课往往把教学看成一部“教案剧”的编导过程，教师自己是导演、主演，最好的学生能当群众演员，一般学生就是观众，整个过程就是教师在活动，这种“独角戏”、“一言堂”忽略了学生在课堂教学中的参与。

为了鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，在备课时不仅要备知识，把自己知道的最多、最好、最生动的东西教给学生，还要考虑如何引导学生参与，应该给学生一些什么，不给什么；先给什么，后给什么；以什么样的形式能给他带来最大的思考空间；怎么提问，在什么时候提什么样的问题，等等。例如，在讲圆锥曲线的时候，不要先讲什么什么曲线，而是给他们看一些图片，或者提前给他们留作业，让他们观察各种桥的形状（可以是实地的，也可以是其他形式的），再提出问题：这些形状所展示的曲线都很美，它们是一样的吗？有什么差别？这不仅使学生参与到学习活动中来，而且使圆锥曲线的学习有了实际背景，同时也看到了它们的具体应用，增强了学生的学习兴趣。

鼓励学生参与的又一方式是发动学生亲自实验，制作有关模型或课件。比如有关正弦曲线的课件，学生在制作的过程中，不仅可以学会正弦曲线的有关知识，而且会有其他方面的感受和体验，教师也可从中选择最好的课件供教学用，从而把更多的精力放在如何调动学生的积极性等其他方面。

在课堂上，要针对不同学生的情况，充分尊重学生的人格和学习上的差异，鼓励学生积极参与。比如对学习有困难、自信心较差的学生，教师在巡视中看到他写出正确答案时可以让他回答或上黑板演示，适时给予表扬和鼓励，让这些学生也体验到成功的乐趣，增强他的自信心。而对喜欢表现自己，心理承受力较强的学生，可以在他出错，并且这种错误又有一定代表性的时候让他回答或上黑板演示，这样，不仅对他，而且对其他学生也有警示作用。此外，还可以提出一个错误的命题或似是而非的命题，称之为“猜想”，让学生来判断正误，甚至可以鼓励学生自己提出“猜想”，让学生自己来介绍，其他学生参与讨论，以激发更多的学生闪现更多的“火花”，而在这过程中，每个学生都能得到“光”和“热”。

在课堂教学中鼓励学生参与时会遇到种种困难，比如：学生七嘴八舌怎么办？“东奔西跑”怎么办？控制不住了怎么办？教学任务完成不了怎么办？等等。对此，我们在备课时首先要加强对教学内容和课时整体上的把握和安排，对核心的概念和内容在时间上留有余地，对每一次所讲内容在教学上的要求有一个清楚的认识，对学生的基础和认知水平有一个比较准确的估计；其次，在观念上也要有转变，因为当我们把学生学习的积极情感调动起来，学生的思维被激活时，学生会积极参与到教学活动中来，也就会提高教与学的效率。同时，我们需要在实施过程中不断探索和积累经验。

3.如何借助几何直观揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用

几何直观能启迪思路、帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，甚至可以说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此，在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考、揭示研究对象的性质和关系，并且学会利用几何直观来学习和理解数学。例如，在函数的学习中，有些对象的函数关系只能图像来表示，如人的心脏随时间变化的规律——心电图，某地在一天内的气韫随时间的变化规律，等等。在工程或许多实际问题中，人们总是希望能画出函数的图形，以便从图形中来了解函数整体的变化情况。又如在导数的学习中，我们可以借助图形，体会和理解导数在研究函数的变化（是增还是减、增减的范围、增减的快慢等问题）中，是一个有力的工具；认识和理解为什么由导数的符号可以判断函数是增是减，为什么由导数绝对值的大小可以判断函数变化得急剧还是缓慢。对于一些只能直接给出函数图形的问题，更能显示几何直观的作用了。再如对于不等式的学习，我们要注重它在刻画区域上的几何意义。此外，还有数系扩充中复数与三角函数、与向量的关系等。

当然，我们也要注意到不能用几何直观来代替证明，因为几何直观可能带来认识上的片面性。例如，对指数函数y＝yx（a＞1）与直线y＝x的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数y＝ax（a＞1）的图形都在直线y＝x的上方，于是，学生可能误认为指数函数y＝ax的图形都在直线y＝x的上方。教学中应避免这种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误。

4.如何处理好形式化表达与揭示数学本质的关系

学习形式化的表达是数学学习的一项基本要求，但是基于高中学生的认知水平，如何处理好数学形式化的表达和对数学本质认识的关系，是新课程实施中需要关注的一个问题。

最典型的是关于“导数及其应用”这部分内容的处理，《标准》中有全新的变化：不讲极限，直接学习导数概念及其应用。教师可能会对这样的处理不适应、不理解——不讲极限怎么讲导数？因为无论是我们在大学学习时，还是以前中学教材的安排，都是先讲数列的极限、函数的极限、函数的连续，再讲导数，导数是一种特殊的极限。《标准》对这部分内容在处理上变化的原因已在本书第三部分的有关内容中作了阐述，其最重要的原因正是为了使学生更好地理解导数的本质，懂得为什么用导数去研究函数的性质更一般、更有效，体验导数在现实生活中的应用。这种让学生在经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，体验和了解导数概念的实际背景，认识瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵的处理方式，可以避免因对形式化极限概念理解困难，影响对导数概念本身的理解。我们在研制过程中曾做了实验，并在一些市、区作过介绍，多数教师都能较快地领悟到这样处理的目的和长处，并认为在具体教学中也是可行的。而且，经历了上述过程，结合自然语言的叙述，再给出导数形式化的符号，就能对导数概念的本质有较好的揭示和理解，也为以后进入高一级学校的学习作了一定的铺垫。对此，教师要有一个从观念到教学方法的转变。

又如算法，算法的概念在不同教材中的描述是不完全相同的，尚无一个统一的定义，而且《标准》对算法内容的要求重点是体会和学习算法的基本思想。因此，我们在算法的教学中，就不宜一开始就给出什么是算法、什么是算法的基本语句的形式化定义，然后再讲例子，去解释或者说明这些概念，而是要通过解决具体的问题，通过对问题解决过程的分析，归纳出算法的一些要素。例如，算法首先是一个程序，是解决一类问题的程序，它有问题的指向性，通过有限步骤可以给出判断等等。在这个过程中使学生体会算法的思想，了解算法的要素和含义，理解程序框图的三种基本逻辑结构——顺序、条件分支、循环，体验和理解基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。还要通过把算法的思想渗透在高中数学的有关内容中，去解决有关问题，并借此不断加深对算法思想的理解。

再如在统计、概率的教学中，会涉及不少概念，如果在高中数学中我们直接给出这些概念的形式化定义，这不仅在数学上是困难的，而且也不符合高中学生的知识水平。例如统计中的一些抽样方法（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样）的引入，一些常见统计方法（如独立性检验、假设检验、聚类分析、回归分析等）的学习，概率中一些概念（随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量、条件概率、两个事件互相独立等）的给出，都是通过具体例子，结合问题的解决，归纳、概括出它们的特征，并根据高中学生的认识水平，对其中一些概念只是作了描述（如随机变量）。因此，在教学中的一个重要问题是，必须把握好例子中的数学含义。例如，在通过例子讲述概率概念的时候，用“某种彩票的中奖率是0.05%”这样的例子是较为合适的，因为它们都是大量可重复的，或近似于大量可重复的试验。然而用“我有95%的把握考上大学”这样的例子就不合适了。因为对一个人来讲，毕业、考大学的次数只有一两次，最多也不过四五次，况且每次发挥得如何，每次考题的内容、风格，每届毕业生的水平等等因素都不相同，不是一个大量可重复或近似于大量可重复的试验，不能用客观事实来确定这句话中的95%。引入这种例子往往会干扰对概念本身的理解。还要注意把握举例的多少，既要避免“一次归纳”（即通过一个例子就得出概念或结论）的处理，也要避免过多的例子。过多的例子可能会对学生造成非本质内容上的干扰，最终影响对概念本质的理解和对基本方法的掌握。

5.如何针对不同内容采用不同的教和学的方式

对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，对于统计内容的教学，就可以较多地采用在教师的指导下，让学生去收集资料、调查研究、实践探究的方式。对于选修系列3、系列4中专题的学习，可在上课之前由教师提供一些配合教材的阅读材料和思考题，在课堂上采用教师讲解和小组讨论、全班交流相结合的教学方式，课后可采用写读书报告、撰写论文等形式。而对必修系列和选修系列1、系列2中的一些可以拓展延伸的内容，比如反函数、复合函数的一般概念，概率中几何概型的计算等，不妨采用在教师引导下自主探究与合作交流相结合的方式，去进一步深层次理解这些内容。对于必修系列和选修系列1、系列2中的内容，尤其是一些核心概念与基本思想（如函数、向量、导数、算法、统计、数形结合、空间观念、随机观念等）的教与学，则在设计和组织教学时，要注重使学生在丰富的背景下、在认知冲突中、在经历知识的形成和发展中展开学习；引导学生通过观察、操作、归纳、类比、思考、探索、交流、反思等行为参与和思维参与活动，去认识、理解和掌握数学知识，学会学习，发展思维能力。

应注意的是在合作学习中，一要做到独立思考与合作学习相结合，不能用合作学习代替学生个体的独立思考，造成部分学生的依赖性，失去合作学习的意义；二要发挥好教师的指导作用，不能放任自流，要对合作学习提出明确的任务和要求；三要进行合理分组，一般来说，可以按照“组内异质，组间同质”的原则来分组，使全班各组在大致相同的水平上开展合作交流。

在学生撰写论文时，要针对不同学生的具体情况，帮助学生合理选择论文题目、构建论文框架。在学生进行调查研究、实践探究时，要帮助学生确定调查对象、调查内容、调查方式和实践探究的线索，提高效率。提供的阅读材料应尽可能贴近学生的经验基础和认知水平。思考题应该是对所学内容理解和掌握的关键所在，也可以是需要学生自己进行推证的问题。

6.如何形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师

有人说，教师的成长＝经验＋反思，这是有一定道理的，因为教学是一个实践性很强的活动，需要积累经验，教师也只有在不断地总结和反思中才能得到提高，逐渐成长起来。但是，我们认为，在迅速发展的现代社会中，在数学科学和教育、心理科学迅速发展的今天，还需加上学习和研究，即教师的成长＝经验＋反思＋学习＋研究。尤其是随着新课程的实施，教师更需要加强学习，更新观念，更新知识（包括数学、教育、心理等各方面）；需要在实践中学习，向其他教师学习，向教育对象学习；需要加强研究，把经验上升为理论，反过来更好地指导教学实践，提高教学效率和质量。

我们知道，在学习中，每个学生有各自的经验基础，有各自的思维方式和认知结构，学生的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程。同样，每个教师也有各自不同的经验基础，有各自的思维方式和认知结构。因此，要形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师，首先要结合自己的特点，对自己的专业发展有一个明确的目标和方向，以及阶段性的目标和任务；其次要很好地回顾一下自己的教学历程，找出自己教学中的长处、优势和特点，找出不足和主要问题，分析其原因，思考扬长避短的策略、途径和方法。重点是对如何进行数学、数学教学理论的学习和实践研究，要有具体的设计和安排。在这过程中，首先要克服惰性，例如对于实践研究来说，写教学日记、周记或作必要的文字记载和分析是十分必要的，但是，由于教学工作的繁忙，往往不能坚持，于是，就把教学中一些很好的理论联系实际的案例、对于教学研究有实证价值的案例或对于教学规律有推广意义的案例放过去了，而这样的案例往往是不可再得的。其次要加强教师之间的合作研究，学习其他教师的教学思想、教学方法和教学研究的方法，这样，就可以既发扬自己所长，又集众人之长，逐渐形成自己独特的教学风格，做一名研究型的新型教师。