数学思想应包括两个部分：论证的思想和公理化的思想。论证的思想是逻辑地论证，不是一般地归纳，对于一般地归纳出来而没有加以证明的结论只能作为猜想。公理化思想是对一些在实践中或理论中得到的零散的、不系统的知识和方法进行分析，找出一些不证自明的前提（公理），从这些前提出发，进行逻辑地论证，形成严密的体系。论证的思想和公理化的思想是数学最重要的特点之一。古希腊欧几里得从古巴比伦、古埃及在实践和理论证明中得到的零散的、不系统的数学知识和方法进行分析，找出一些不证自明的前提（公理），然后从这些前提出发，逻辑地演绎出严密的几何公理体系。现代分析数学体系也经历了这样的过程，从牛顿不太严密的微积分，经历了欧拉等一大批伟大的数学家发现分析数学的丰富的结论和方法，在这个基础上，到19世纪、20世纪之交，形成了一个严密的、逻辑的数学分析体系。其他的大部分数学分支也都大致上经历了这样的过程。这种思维模式不仅对于数学的发展，而且对于科学的发展和人类思想的进步都起了重要的作用。西方的科学家和思想家常常以这种思维模式来思考和研究科学、社会、经济以至政治问题。从柏拉图、培根、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨一直到近代的很多思想家常常遵循这种思维模式。例如，牛顿从他著名的三定律（他称之为“公理或运动定律”）出发，演绎出经典力学系统，而万有定律是作为第Ⅲ篇的定理Ⅶ和Ⅷ出现的。美国的《独立宣言》是又一个例子，它的作者试图借助公理化的模式使人们对其确实性深信不疑。“我们认为这些真理是不证自明的……”，不仅所有的直角相等，而且“所有的人生来平等”。马克思从商品出发，一步步演绎出资本主义经济发展的过程和重要结论，这个过程也受到了公理化思想的影响。
实际上，欧几里得公理化的思想受了某种哲学思想的影响。古希腊时代，占主流的知识分子大都认为自然界是按照数学的规律运行的，所以非常重视数学，才由此形成对数学的整理并使之系统化，出现了欧几里得几何。后来文艺复兴时期笛卡儿的思想、希尔伯特统一的思想、罗素主义等，都受着某种哲学思想的指导。因此，他们不仅仅是在研究纯粹数学，而且也描述了自然界。而我国古代社会和文化传统对于数学乃至科学技术并不重视，只是作为编纂历书、工程、运输，管理等方面的计算方法。在这种背景下，我国古代可以提出一些很好的算法或朴素的概念和思想，如位值制、负数、无理数、极限的思想，但没有上升到理论体系，在文化传统中不占主流地位，甚至明朝有的皇帝认为机器是奇技淫巧。近代的数学主要是向西方逐步学习的，而且并没有研究（至少没有认真研究）数学在思想方面的作用，数学仍然没有融入我国的文化传统。因此我们讲授数学不只是讲数学本身及其应用，更重要的是要让人们知道：如果不从数学在思维方面所起的作用来了解它，不学习运用数学思维方法，我们就不可能完全理解人文科学、自然科学、人的所有创造和人类世界，从而为人类作出更大的贡献。我们应该特别重视数学思想在人类进步和社会发展中的重要作用。(www.xing528.com)
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