学科发展：数学问题解决

20世纪初以来，心理学界已对问题解决及其相关思维做了大量研究.这些研究主要涉及问题解决的理论与模式、影响解决问题的因素、问题解决的策略、问题解决中的元认知因素等.数学教育界对问题解决的关注源于波利亚对数学解题的研究.波利亚认为问题解决作为一个大系统，由“提出问题”和“解决问题”这两个小系统组成.在“提出问题”这个系统中，波利亚通过对归纳、类比、一般化、特殊化等发现问题的方法的分析，得出了一系列合情推理模式.在“解决问题”系统中，波利亚给出了一个四步骤的解题程序：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾.

美国数学教育家舍费尔德（A.H.Schoenfeld）将元认知和情意因素引入解题系统，并且作了一些实证性的研究，发展了波利亚的数学启发法思想.他指出，数学解题的智力活动含有四个方面：

①认知的资源——解题者所具有的与问题有关的数学知识；

②启发法则——克服困难的思维策略；

③调控——对资源和策略的选择和执行作出相关的决策，对解题过程进行调控；

④信念系统——解题者对自我、数学、问题以及环境的看法和认识.［44］

国内对数学问题解决的研究主要聚焦于对习题理论（戴再平）、解题系统（罗增儒）、解题方法（徐利治，喻平）、解题思维（郭思乐）、解题策略与能力等.此外，许多研究从认知心理学出发，从数学问题表征、数学解题策略、解题能力的心理结构、解题的迁移、解题中的元认知等方面对数学问题进行了研究.这些研究中涉及的问题多为复杂综合的但是结构良好的问题，对他们来说“数学问题解决”与“数学解题”相当.

目前在国际数学教育研究领域还有另一种比较公认的关于“数学问题解决”的概念，人们将“问题”定义为一种符合如下特征的任务：［45］

非常规的：最主要的挑战是想办法如何处理这些任务.一般学生面对的问题，往往能找到对应的已经学过的解决方法，这些是练习，而不是任务.

数学信息丰富的：一般来说完成一个称之为问题的任务，往往需要一系列的推理，且需要多个步骤才能完成.

清晰提出的：问题情境和需要的各种解答都是详细表述的.一般来说问题情境是定义的，但学生需要提出问题并且回答问题，探究隐藏在讨论中.(www.xing528.com)

聚焦推理的：仅仅给出答案是不够的，在问题解决中，希望学生解释得到答案的过程以及说明答案正确的原因.

这些特征使得一个问题比定义良好的练习更为“难以解决”或者更有挑战，尽管它们都围绕同样的数学内容展开.解决“问题”与做练习相比，所需的技能技巧要简单一些，所需的数学知识往往也是已经教过的或已被学生很好吸收消化的.但是问题解决更需要学生发现数学内容之间的联系，以及数学与其他领域内容的联系.下面两个问题具有“问题”特征.

【问题】桌面上的瓷砖

玛丽制作一张正方形桌面，在上面贴瓷砖.正方形桌面的边长为10 cm的倍数.玛丽在角上用四分之一的瓷砖，沿着边用半块瓷砖.一张40 cm×40 cm的桌面分别需要多少块不同的瓷砖？

描述一种快速计算的方法，一张较大的正方形桌面分别需要多少块不同的瓷砖.

【问题】飞镖

菲尔与凯特为学校的活动制作飞镖并义卖.他们计划做两种尺寸的：小的和大的.菲尔会在木质飞镖上进行雕刻，小的飞镖需要雕刻2小时，大的需要雕刻3小时.菲尔只有24小时用来雕刻飞镖.凯特装饰飞镖，她只有装饰10个飞镖的时间.

在义卖中，小的飞镖卖8元；大的卖10元.他们希望挣到尽可能多的钱.

他们要做多少大的和小的飞镖？他们能挣多少钱？

各国在数学课程发展中都非常重视数学问题解决的界定、分析与研究，并将其内涵体现于期望课程或落实在具体课程中.下面从美国、德国、荷兰、新加坡及中国的课程标准出发探析数学问题解决.