如何培养学生的数学创新素养-《中学数学课程发展研究》成果

20世纪末以来，一方面，数学以其数量、关系、图形、结构、逻辑等方面的特点，渗透在生活、技术发展各领域；另一方面，在进入信息时代的今天，数学逐渐成为现代创新的有力工具，新科学知识和新生产技术的产生都离不开数学.创新思维自身具有的独立性、灵活性、探究性、推测性等特点与数学学习探究过程的特点不谋而合，使数学成为培养、发展创新思维的良好载体.

在数学教学中，让学生经历知识的形成过程，并在此过程中着力培养学生的创新素质是数学教学的重要任务.然而，在应试教育的桎梏下，数学教育在学生的再次发现的探索能力、“重组知识”的综合能力和应用知识解决问题的实践能力等方面的培养基本被忽视.正如布鲁姆（B.Bloom）所描述的那样，“他们以往过分强调了教育目标的最低层次——知识，因而，把90%的教学时间用于这一层次，而很少把时间花在更高层次的智力活动上，让学生创造性地应用知识.”如此教学不但无益于培养学生的创新素养，更会降低学生学习数学的兴趣，将数学学习视作应试的需求.那么何为数学创新？如何培养学生的数学创新素养呢？

关于数学创新，目前仍没有统一的界定，研究者们往往从自己的研究出发定义数学创新.但学者们都认为数学创新既是一种结果，更是一个过程，它存在于数学学习和数学研究的各个环节和整个过程.若根据熊彼特对经济领域中创新的界定，数学创新可定义为：新的或重新组合的或再次发现的知识被引入数学知识系统的过程.国外学者对数学创新的研究主要关注数学创新能力形成的过程与特点.近年来，国内研究者则热衷于数学创新教育的分析.

5.1.2.1　国外数学创新研究概述

21世纪以来，培养学生创新能力已成为数学课程改革所追求的重要目标之一.创新能力不仅仅是艺术家、科学家们所独具的能力，它也存在于人们日常生活中，它是“数学大众化”教育思潮的本质诉求.由于数学活动及成果具有创造性特征，数学历来被人们认为是培养个体智力发展的首选学科.尽管大多数学生认为数学与创新两者之间没什么联系，数学家们却非常坚持数学与创新的紧密联系.如数学家基思韦特（K.Kiesswetter）认为灵活思考是数学研究过程中最重要的一个能力；毕晓普（A.Bishop）认为在数学学习、探究过程有两种非常重要的数学思维：创造性思维（如直觉）与分析思维（如逻辑性）.［11］普卢克等人认为创造力是在一定社会背景下个人或团体能制造出新颖、有价值结果能力与过程之间的相互影响.［12］

数学创新阶段理论——数学家的研究

20世纪法国著名数学家彭加莱（J.H.Poincaré）认为数学创新已经被简单地描述成洞察力、选择能力.他运用发现富克斯函数（Fuchsian functions）的过程对数学创新过程进行了描述，该过程分为四个阶段：

第一阶段：对已有的问题进行深入分析，彭加莱称之为自觉工作的初步阶段.

第二阶段：暂时放下所探究的难题，思考其他问题.

第三阶段：在从事其他无关问题时，突然产生解决难题的思路.

第四阶段：运用语言或文字将解决问题的结果表达出来.

彭加莱对于创新能力的演讲，启发了其同事，另一位20世纪数学家阿达玛（J.Hadamard）对探究数学创新心理的调查.阿达玛对一些美国著名的数学家、科学家进行了非正式的调查，如伯克霍夫（G.Birkhoff）、波利亚、爱因斯坦（A.Einstein），调查他们在解决数学问题时的心理图式.阿达玛研究得出的数学创新能力形成过程受到心理学中格式塔四阶段模型的影响，其研究结论延续了格式塔四阶段，即数学创新过程经历如下四个阶段：准备阶段—潜伏阶段—明晰阶段—证明阶段.［13］

阿达玛提出的四个阶段与之正好对应，但是其借鉴的格式塔模型存在着两个不足：一是模型中所指的问题主要是数学家们先验的问题，忽视了对从现实中所产生问题的关注.二是潜伏阶段—明晰阶段主要是潜意识的驱动，没有指出问题如何解决，对此，埃文克（G.Ervynck）提出了数学创新的三阶段：［14］

阶段0：初步的技术阶段，该阶段包括数学规则、程序的技术或实际应用，使用者没有应用理论基础的意识.

阶段1：算法活动阶段，主要运用数学方法进行算法活动.

阶段2：创造（建构）阶段，这是真正数学创新发生的阶段而非使用算法进行决策.

虽然埃文克尝试用阶段0与阶段1描述数学家解决问题的过程，但是他的描述与彭加莱、阿达玛提出阶段相似，其中非算法决策与彭加莱提出的选择隐喻相似.在问题解决过程中，波利亚则强调使用多种启发式方法解决数学问题，如验证结论、先后验证多个结论、验证一个不可能的结论、推断性地类比、深入类比.

阿达玛在其著作《数学领域中的发明心理学》中以“无意识思维”为核心的数学发明心理过程.他和彭加莱有如下观点：在数学的（乃至一般的）发明创造过程中，往往存在着创造灵感，或称之为“顿悟”现象.这种顿悟的出现使经历了一种复杂的、至今尚未被我们完全认识的“无意识思维”过程之后的结果.无意识思维，是指思维者本人既没有意识到它的存在，也没有受到意识支配的一种思维过程，它在发明创造中占有举足轻重的地位.发明就是将各种“观念原子”（彭加莱用以描述各种基本思想元素的一个形象化比喻）进行千千万万的组合，再从中选出有用的组合，这种选择的标准是所谓“科学的美感”.

无意识思维在发明过程的组合选择过程中不受理智的条条框框的约束，仅服从于人的直觉中和谐的美感.因此，人的直觉思维对于数学发明创造有着特别重要的作用.首先，创造阶段，科学家的思维载体是各式各样的、因人因事而异的符号、图表或其他形象，亦即此时的思维方式往往是形象的和直觉的.其次，直觉型思维比逻辑型思维的无意识程度深，且散射面更宽，因此直觉型更有利于创新.诸如费马大定理、黎曼猜想、伽罗瓦（E.Galois）关于一类积分周期的知识、彭加莱关于变分计算中一个极小值的充分条件等一系列著名例子，皆说明，在严格的逻辑推导之前，这些天才人物的惊人的直觉力，能准确无误地预见结果.［15］

为了探究数学家们如何创造性地发现数学规律，这个创造性过程有何特点，同时测试格式塔模型的应用性，斯利拉曼访问了5位数学家对数学创新的认识.为了从定性的角度研究创造力的特点，因此选择较为正式的访谈法，访问力求尽可能地使受访数学家自由地说出其想法，同时兼顾测试格式塔模型的应用性.

研究结果显示这些数学家在数学创新中主要有如下特点：［16］

（1）研究指导与社会互动：指导研究生进行数学研究，并相互讨论与交流.

（2）准备与应用启发法：对发现的新主题，了解已有的研究现状.同时尝试解决多个问题，在解决各个问题时，使用波利亚提出的启发式探究法，不断使用正、反例，使用各种解题方法尝试解决问题.

（3）意象：所有受访的数学家在进行数学研究时，都没有使用电脑，因此很难揭示他们在数学研究时的心理意象，数学家们工作主要是应用了彭加莱提倡的选择隐喻法，埃文克的非算法决策.

（4）孵化与明晰：虽然前期的准备工作很重要，但是问题解决有时也受随机事件的影响，一些偶然事件常在问题解决过程中发挥着重要的作用，数学家们善于捕捉这些有利于问题解决的偶发事件.(www.xing528.com)

（5）直觉、证实和证明：通过潜伏期明晰问题的解决过程，最后一步便是证实和证明.数学家们证明的过程与教科书中的逻辑证明方式有所不同，逻辑证明是一种模拟重建发现的方法，它受制于推断系统之中，而数学家们的证明过程则是直觉引导的有缺失的发现过程.

上述是数学家们的数学创新过程，那么，在学校的数学创新是怎么样的呢？

学校数学创新能力研究——问题解决教学

研究者认为学校教学中开放式问题与创造力联系比较紧密，在数学课堂教学中使用结果开放的数学问题有助于促进数学讨论，因此，开放式问题在20世纪70年代开始流行于日本的数学课堂教学，几乎在同一时间，开放式问题在英国的数学课堂教学中也开始流行.20世纪80年代开始，开放式数学问题出现在世界各国的数学课堂中，当然，不同的国家对于开放式问题的称呼有所不同，荷兰称之为现实数学.

虽然传统心理学界与现代心理学界对创新能力的定义并不统一，但双方都认识到问题解决过程对于创新能力产生的重要性.爱德华（A.Edward）根据创新力的三个核心能力：流畅性、灵活性、新颖性，提出了通过教学加强学生数学问题解决和提出问题能力，从而培养学生的创新能力（表5-1），它说明了如何通过不同的问题解决、问题呈现形式的教学发展学生的核心创新能力.［17］

表5-1　依据核心创新能力设计数学解决问题和提出问题教学活动

佩赫科宁（E.Pehkonen）使用人脑的功能不对称理论解释了在问题解决过程中培养创新能力的重要性.人的左脑通常联系着逻辑性思维，右脑则负责协助视觉思维.神经病学研究发现，超过90%的正常人大脑左半球处理刺激顺序是一个接连一个，而右半球处理刺激的顺序则是平行的.人们在观察学生问题解决技能及高水平的思维过程中发现左脑活动异常活跃.如果个体过度关注逻辑演绎，则其创造力将下降，平衡大脑左右半球的活动对培养个体的逻辑能力、创新能力十分重要.个体右脑掌握着问题解决过程中的全部数据，左脑主要处理逻辑性任务，当得出解决方案时，问题解决者将全面思考问题（启动右脑功能），核实问题解决过程的合理性.［18］

5.1.2.2　国内数学创新研究

1999年中共中央国务院《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》明确提出，要“以培养学生创新精神和实践能力为重点”实施素质教育.2006年，中共中央亦提出在2020年建成创新型国家的目标，创新性人才是创新型国家的主要力量.“创新”成为近年来国内数学教育界讨论研究的热点，培养学生的数学创新能力是当前数学教育的一个重要目标.国内有关数学创新教育的研究主要集中于对数学创新能力涵义的分析与评价.

罗新兵等人认为人们主要从显现的认知结果和潜在的认知过程这两个视角来剖析数学创新能力的涵义.［19］

基于显现的认知结果视角的代表性观点有：

（1）对于给定的数学问题，能够提供新颖的、独特的、合适的解决方法；

（2）对于所呈现的文字的、图像的、表格形式的数学情境，能够提出许多不同且合理的问题；

（3）能够识别技能领域与应用领域之间的联系，在以前不相关联的数学思维之间建立起一种联系；

（4）学习新知识的再发现和已有知识方法的独特应用，能够发现问题、提出问题，敢于质疑，勇于对他人（教师或者同学）的见解发表不同看法；

（5）独立表征数学问题，找出解决问题的方法，发现定理的结论和证明，独立推导数学公式，找到非标准（非常规）问题的独特新颖解法.

基于潜在的认知过程视角的代表性观点有：

（1）轻松自由地从一种思维操作转换到另一种思维操作；

（2）以多种方式分析问题、观察模式、辨别问题的差异性和相似性；

（3）以全新的方式把数学思想、数学技能和数学方法有机地整合在一起；

（4）用数或形扩展数学模式，重新组织数学模式和数学关系，根据具体问题情境适当变形转换，预知结论；

（5）能够在不同的数学表征系统之间自由地进行推理和转化.

基于上述观点，研究者认为数学创新能力存在于数学学习的每个环节和整个过程，应以认知过程与认知结果相结合的方式解释数学创新能力的涵义.数学创新能力是以自由轻松地从一种思维转换到另一种思维操作和一个问题的众多不同解法而体现出来，那些聪明的学生在必要时总能够抛弃传统的做法而找到一些新颖的解法.同时，结合已有的研究结果提出了培养与评价学生的创新能力的六个途径：问题解决（主要是开放性问题解决）、提出问题、改编问题、重新界定、探究性学习、反思.并提出了三种评价学生的数学创新能力的方法：一是通过对学生处理问题的整个过程进行录像，多角度分析学生的数学活动过程.二是通过出声思维方法，观察学生在学习过程中的行为表现，评价学生的数学创新能力.三是托伦斯开发的两种创造性实验：言语的和图形的，对所有任务的反应都根据独创性、流畅性、灵活性三个方面来评分.

许多教育工作者则从创新能力意义上理解数学创新能力，认为创新能力是指在运用一些信息开展思维活动，产生某种新颖、独特的有社会或个人价值的能力，是对已经掌握的知识和方法进行推广和拓展，对未知领域的探索.［20］因此对数学创新能力的培养主要体现在数学知识和方法上，如通过用类比或推广的手段对某些定理和公式的结论进行深化或延伸，培养数学创新能力.