荷兰教育的基础教育分为两个阶段:小学和中学.小学教育阶段包括两年的幼儿园和六年的小学(4~12岁).完成小学教育后,学生面临第一次选择,因为中学教育分为四个教育类别,学生可以进入:
职业预备教育(VBO)(12~16岁);
普通中等教育(MAVO)(12~16岁),它是为今后进入高等职业教育做准备的;
普通高中教育(HAVO)(12~17岁),它是为今后进入高等教育做准备;
大学预备教育(VWO)(12~18岁).
荷兰数学课程发展与世界著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal)紧密联系在一起,他所领衔的荷兰数学教育团队创立具有世界影响的现实数学教育思想,他们倡导的数学课程观可归结为两个基本方面:(1)数学在本质上是一项人类活动,通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的;(2)数学课程应当从学生熟悉的现实开始和结束.[61]
荷兰的数学课程强调数学是一项人类活动,学校中的数学不是封闭的系统,而是从现实生活开始的数学化过程.数学课程应当要引导学生重复人类数学发现的过程,实现数学的再发现和再创造.根据弗赖登塔尔的观点,数学课程不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过程中人类的活动轨迹,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取抽象化的数学知识,再及时把它们应用到新的现实问题上去.
在1993年之前,荷兰没有一般意义上的国家数学课程标准.从1998年起,荷兰政府教育与科学文化部开始颁布全国统一的“教育获得性目标”(attainment targets).
4.4.2.2 2004年的荷兰数学课程改革
20世纪90年代末,对国家课程标准质疑的呼声逐渐高涨,1999年发布了教育督导评估报告,指出数学课程实施过程中存在的问题,课程内容过于“自上而下”地设计,学校没有足够的自由度为了学生的发展而调整教学等.因此2002年荷兰教育部根据荷兰教育咨询委员会的建议,推出“变革基础中等教育”的任务,其主要功能之一就是调整、更新课程的核心目标.2004年公布全新的中等教育数学课程“核心目标”(core goals),更为宏观地描述了中学数学课程应该追求的目标.中等数学课程的核心目标包括:[62]
●学会使用适当的数学语言整理自己的思维,并且解释给他人听,学会理解他人使用的数学语言;
●在独立工作或与他人合作时,学会识别并且使用数学,解决实践情境中的问题;
●学会提出数学论证,并且会辨别数学论证的观点和表述,学会从相互尊重思维方式的角度给出以及接受数学评论;
●学会理解正负数、小数、分数、百分数和比率的结构和关系,学会处理那些有意义实践情境中的数;
●学会以精确的以及估算的方式计算,基于对精确、对规模秩序、对所给情境的错误边界的洞察,进行推理;
●学会测量,学会理解十进制的结构和关系,学会用普通场景下的量的测量单位进行计算;
●学会用非正式的符号、图像表征、表格、图像、公式,理解常量和变量之间的关系;
●学会用二维或者三维形状和结构,学会制作并表征这些性质,学会利用这些性质和测量计算和推理;(www.xing528.com)
●学会系统描述、排列数据,并将数据具体化,并且学会批判地评判数据表征以及结论.
尽管这些核心目标没有描述教学过程,但反映了现实数学教育(RME)原则,也即数学应该是有用的并且有意义的,在形式化之前产生意义.数学教学重要的是,学生要经历各个层面的理解,从非正式并且具体的到更为形式的和抽象的理解.教师在这个过程中要引导学生.
显然2004年的荷兰中学数学课程核心目标的表述并没有像以前那样具体细致,其主要目的在于,给学校更多的自由空间,来定义具体的内容,计划教学时间,以适应所教学生的情况.当学校有更多自主权时,学校就应该有更多的机会为学生量身定做学习计划.因此,这“核心目标”体现三个功能:满足不同类型学校的需求;实现“量身定做”的解决方案(补习教学,补充材料);形成学校特色.
这样的课程发展体现出如下的特点:重点强调学生以各种方式、在各种不同的情境下需要数学,在学校外需要数学.因此学生应该发展其在数、量、测量、形状、结构、关系、运算与函数等领域的洞察力和基本技能,而且持续地发展他们的数学语言、素养和计算能力.
从荷兰教育部角度看,就是让中学数学教育具有如下特点:
“在中学数学教育阶段,大部分学生将受到数学活动的挑战,数学活动将在有意义的场景中开展.而其他学生可能受到更为抽象、理论的方法的挑战.这两部分内容将在应用情境中展开.”[63]另外,还应该关注数学与其他学科的联系,这种联系有两层意思:在数学教育中利用来自其他学科的情境;其他学科会关注数学的某个方面.总之,这些“核心目标”体现的特点是符合RME原则的.
这些一般意义上的2004年“核心目标”,为创新型学校和教师带来更多的自主选择权,来选择、设计他们自己的课程,以适应政府的一般政策,以区分学校,给学校更多的责任.在这课程改革的过程中,通过与学校管理层以及教师的商谈,发现大部分人乐于改革.
这样的改革对教师是很大的挑战,因为教师往往不参考甚至不知道这样的核心目标,他们过于依赖教科书.因此在新的改革面前,由于目标不再那样翔实,传统的教师希望更新教科书,便于他们继续依赖于教科书.创新型的学校希望实施基于能力的教育,他们困惑于如何处理数学.他们的问题聚焦在:如何以主题的方式表达数学;如何将数学与其他学科结合起来;作为独立的科目数学应该教些什么.
问题解决导向的高中数学课程
正是由于荷兰国家课程标准为数学课程发展提供很大的自由空间,领衔荷兰数学教育发展的弗赖登塔尔科学与数学教育研究所(Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education)提出问题解决导向的数学课程思想.[64]
在现实数学教育思想引领下,问题解决成为荷兰数学课程发展的核心.问题解决被看作是解决非常规问题的一种艺术,所谓非常规问题是指对学生来说还没有已知的解决策略,但是为学生探索新的解决策略提供机会.问题解决中的问题并不局限于现实问题,也包括产生于“数学世界”的问题.1989年以来,荷兰高中数学课程被分为两类,数学A与数学B.数学B包括专业技术学习、大学数学和科学学习所需要的数学,其核心是微积分.数学A为那些希望从事社会或经济科学或相关领域研究的学生准备的,其重点是数学的应用以及数学建模,让学生更多经历利用数学解决“现实问题”,充分体现“现实数学教育”的思想.
原则上,数学A体现着数学问题解决导向的数学课程思想.但是受书面的统一考试评价的影响,数学A越来越不重视数学问题解决、数学建模、促进高层次数学思维发展的开放式问题解决等.因为考试题似乎与现实情境相关,但是很少要求学生数学建模能力或问题解决能力的发挥.因此研究者认为,数学A陷入了一个死循环:“糟糕”的统一考试导致“糟糕”的教育.为了打破这个死循环,人们在考试制度之外设立了数学A竞赛.其意图是,设计这样一种“任务”,它体现数学A的课程目标,并且要求团队活动完成任务.这种任务设计的特点是,学生进行团队的竞赛活动.
数学A竞赛是由11年级和12年级修读数学A课程的学生参加的,学生需要以团队(3~4人)为单位,完成挑战性问题.竞赛包括学校层面的初赛,及在某会议中心的决赛.数学任务是开放式的,意味着团队编制一个完整的任务解决路径,从定义问题开始,然后定义策略,解决方案,论证方案,呈现解答过程.结果以完整报告形式给出.
目前这个数学A竞赛有150个学校参加,近1500个团队,也就是说有近6 000名学生参与以团队形式解决一个开放的真实的问题.例如,在某次竞赛的最后一轮,学生拿到了“生物多样性”的任务.每天都有植物和动物死亡.学生任务是,确定某种标准来决定哪些植物和动物需要优先拯救,以保持足够的物种多样性.
前三个问题是团队需要熟悉生物多样性的概念,然后编制衡量物种遗传关系的量表,利用这个价值量表决定,为了保持从遗传学角度看尽可能大的多样性,最需要保护哪个物种.
首先给学生这样的任务:“一批不同植物(A、B、C和D)组合的照片给不同的科学家,然后他们根据多样性的递减对这些植物排名.”学生团队利用这些信息,来确定哪些因素对多样性重要.团队不要求建立关于排名的函数,但是团队努力要找出有关函数.
任务的第二个部分是学生要从遗传多样性角度,来确定哪些物种最好保护,其间使用遗传关系的遗传树.对学生来说,寻找合适的量表就好像是盲目地寻找合适的公式,团队任意进行加、减、乘、除,过程中经常会遗忘合理的论证.还可以观察到对任务的批评或者对学生的批评.另外,在设定量表时会有批评声,有时缺少明确的公式、符号等.问题解决过程中,学生经历着用数学语言与他人交流,进行合理的数学论证,用数学符号进行表征,学会小组分工合作,团队之间的合作等.因此问题解决导向的数学课程案例在落实过程中,也充分体现了数学课程的核心目标要求.
荷兰的数学课程发展就是基于这种现实数学教育思想,实施问题导向的课程,倡导数学建模以及技术的整合利用.但是在具体实施过程中,也会与统一考试发生矛盾,因为统一考试没有涉及数学问题解决活动,实施过程中的另一个障碍则是数学教材所致,教材没有完全对问题解决开放,没有强调对于问题解决的学习.
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