研制能力评价导向的教育标准成为德国教育改革的亮点之一，2012年底德国文化部长联席会议（KMK）颁布首个《完全中学高中（gymnasiale oberstufe）毕业生的高中数学教育标准》（以下简称《德国高中标准》）.《德国高中标准》，有着较为独特的结构，也就是将数学能力模型与学生学业能力测评整合在一个标准之中，强调基于能力标准设计教学、发展学生能力.《德国高中标准》主要包括三个板块：数学能力标准、毕业文凭考试实施标准以及考试和教学用样题分析（如表4-7）.
表4-7 德国高中数学教育标准结构
4.3.4.2 高中数学教育标准中的能力标准
高中数学教育理念
德国完全中学高中教育是普通基础教育的深化，旨在为学生进入学术研究领域或职业领域提供入门体验式教育.高中教育强调促进学生个性发展，让学生学会规划对于社会负责、影响民主社会的个人生活；让学生掌握学术领域以及职业领域必需的专业基础知识，培养学生信息的利用和辨别能力，自主和自我负责的能力以及团队交流与合作的能力.数学作为高中最主要学科之一承担着实现这些高中教育目标的任务.德国高中数学教育理念强调，通过高中数学教育，学生必须获得三种基本经验：（1）数学是一种工具，学生用此以特定的方式去感受并理解自然、社会、文化、职业等世界中的现象；（2）数学是一种精神活动，也是一种以演绎方式呈现的艺术世界；（3）数学是一种手段，学生用此获得超越数学的解释能力.［41］
能力模型的要素
《德国高中标准》中的能力模型由四个维度构成.前三个维度与初中数学教育标准中的能力模型相当，它们是能力、水平和内容.能力维度包括数学论证、数学地解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式及技巧的熟练掌握以及数学交流.《德国高中标准》对各个能力分别提出三个水平的能力要求（水平Ⅰ、水平Ⅱ、水平Ⅲ），称为水平维度.内容维度包括算法与数、测量、空间与形状、函数关系以及数据与随机现象.
另外，德国充分尊重高中学生认知水平差异、学习与专业兴趣差异，将高中数学课程分为基础课程和提高课程，这是两个相对独立的课程.基础课程主要涉及基础类数学知识，其考试内容重点反映水平Ⅰ和水平Ⅱ的能力要求.提高课程涉及更为广泛的数学内容，特别是较为复杂、有深度、更为精确、形式化的内容，其考试内容重点反映水平Ⅱ和水平Ⅲ的能力要求.因此能力模型的第四个维度是课程分层.
促进数学能力发展的数学问题设计
德国颁布的教育标准一方面描述了期望的数学能力及其对数学核心知识的要求，使其发挥保障教学质量均衡化的功能；另一方面强调能力的发展是一个可持续的过程，它要求教学能从学生现有能力出发，根据现有学习的内容，设计符合学生发展且促进发展的数学问题.［42］《德国高中标准》提出设计相应数学问题的建议，激活学生学习过程，并通过问题解决对学生核心能力的发展进行监控，构建能力发展导向的数学课堂教学.
4.3.4.3 高中毕业文凭考试实施标准
德国高中毕业文凭考试实施标准被纳入《德国高中标准》之中，也是德国教育改革的举措之一，旨在通过考试评价检验并监测学生能力发展水平、保障学校教育质量.这一考试实施标准充分尊重文化教育部长联席会议（KMK）颁布的高中毕业文凭考试协议.［43］这一考试旨在检测学生在高中毕业时达到了怎样的教育标准规定的数学能力水平，因此考试标准主要提出试题的设计原则与标准，保证通过这些试题可以描述学生获得的能力水平，并且对学生毕业文凭考试成绩给出评判.
笔试和口试题的一般要求
根据教育改革的总体思路，考试标准提出，设计的考试试题需要能评判学生学业成绩的三个水平。
学业成绩水平Ⅰ是指，学生能再现已学事实和知识，能理解、应用并表述练习过的技能和方法.学生成绩水平Ⅱ是指，学生会用规定的、练习过的视角和方法，独立地选择、排列、加工、解释以及表述熟知的内容，能独立地将已学的知识应用到有关联的新内容上.学业成绩水平Ⅲ是指，学生在解决综合性问题时能够独立解答、设计或者表意、推导、概括、论证以及判断.在此学生会自主选择方式方法来解决问题，将方法和技能用于新的问题情境，并对自己的过程进行反思.
试题编制者在编制试题时，需要认真考虑整个试题或者某一小题分别可以检验学生哪个水平的学业成绩.考试的重点应该是检验学生在水平Ⅱ上的学业成绩，同时兼顾检测水平Ⅰ和水平Ⅲ的学业成绩.试题涉及的内容不能局限于某个学期所学内容，而是要考虑整个学段学到的内容.考试标准规定了笔试和口试题设计的要求，下面以数学试题为例进行说明.
数学考试笔试题的设计要求
数学笔试题设计充分考虑《德国高中标准》中规定的核心知识、数学能力水平.从试题结构要求看，笔试题应该由多个相互独立的题目组成，每个题目包括若干个有一定联系的小题，但是每个小题又有一定的独立性，也就是说，某个小题做错不会对下面解题带来困难.如果必要，在试题结构中可以含有中间结果，小题设计不要太详细.
从试题编制原则看，试题至少要涉及教育标准中提出的分析、线性代数/分析几何和随机等内容领域中的两块内容.至少三分之一的内容属于分析内容，但另外两个内容领域也不能长期被排除在外.试题设计时，要考虑多个核心知识和一般数学能力，使得高中的数学内容尽量被考虑进去.要注意形式化的数学试题与应用类数学试题之间的适当关系.(www.xing528.com)
从试题评分标准看，在对考试成绩作评判时，不仅要考虑纯的解答，而且要适当考虑其中对数学的理解.因此说明、点评以及论证性的文本也是考试评价不可忽视的部分.学科上的错误包括：不完整的归类，专业用语出错，作图上不精确或文本与图之间的关系没有正确表现出来.
数学考试口试题的设计要求
口试分为两段，第一段，即口试的三分之一时间给考生机会独立解决问题，进行准备后报告出来；第二段口头表述专业问题或进行专业对话.口试一般是以个体为单位，如果是以小组为单位，要注意给每个考生明确的评价.要以书面方式或者口头说明方式说明考试要求，考试过程被记录下来.口试至少涉及教育标准中提到的两个数学知识领域.试题在设计时要考虑多个核心知识和数学能力，以便涉及高中阶段尽可能多的内容.问题设计要包括一个简单的入门问题，可以让每个考生都能拿到分数.
口试问题的设计不同于笔试的，要避免大量计算和耗时的问题，更多的是让考生自由表述数学事实，就数学提问表达自己的态度.特别适合口试的问题是，表达解题思路和过程，而不需要额外的计算，以及给出结果、解题过程，让学生阐述主要的思维过程.
下面的数学问题“海豹”是为基础课程修学者设计的考试用样题，主要涉及算法和数的核心思想，对应着线性代数的内容领域.这一问题的解决将与核心能力数学建模、数学符号、公式及技巧的熟练掌握和数学交流密切相关.这个问题是关于转换图像、转换矩阵、标准向量的简单应用，借助数学工具针对现实情境进行建模.成功的解题过程包括用数学描述现实，以及将数学应用到现实.而最后两小题，需要将这个模型与变化了的情境拟合.［44］
海豹：在拥有20 000只海豹的聚集区，有一种可置动物于死地的传染病正在蔓延.一名海洋生物学家在传染病暴发后前往该海豹聚集地，她发现已有60只海豹死于这种传染病.
这位生物学家推测有一种特殊的病菌存在.根据已有的经验，可以通过一个模型来了解传染病的蔓延情况.这个模型描述的是：在传染病蔓延的期间，从某天到其第二天动物在可能有的“状态”（如健康动物G、生病动物K、死亡动物T）之间的转换比重.表4-8显示了这些状态转换的比重：
表4-8
（1）用图像表示表格中给出的信息，并结合问题情境，解释第三行数据的意义.（能力水平Ⅰ）
（2）使用表格或者图像所提供的信息，至少结合两种状态，说明根据这个模型海豹将全部死亡.（能力水平Ⅰ和水平Ⅱ）
（3）生物学家利用此模型，根据首次观察到的60只死亡海豹，便能推导出病情暴发的时间.请证明：她是在病情暴发后的第3天开始首次观察的.（能力水平Ⅰ和水平Ⅱ）
（4）直到某一天为止，共有380只海豹死于这个病情，一天后生物学家发现又死了47只海豹，这个观察现象符合现有模型.请说明：在这两天之间健康海豹数量是如何减少的.（能力水平Ⅱ和水平Ⅲ）
（5）这个海洋生物学家的同事推测有另一种病菌.为了拟合病情进展情况，他认为应该改变这个模型.举例说明与所改变的条件相对应的转换矩阵，并论证你的方法.（能力水平Ⅱ和水平Ⅲ）
（6）进一步调查发现，海洋生物学家关于病菌的推测还是正确的，然而，不同于原来模型的是，逐渐康复的动物长期以来有了对这个病菌的免疫能力.关于病情的其他数据没有发生变化.（能力水平Ⅱ和水平Ⅲ）
现在这个模型又多了一个状态“有免疫性的动物”.“健康动物G”是指健康的，但还没有免疫性的动物.
●假设在病情暴发前还没有动物有免疫性.
●请画出现在这个模型的变化图像，并给出转换矩阵.
●根据这个图像，说明为什么约40%的海豹从这传染病中存活下来了.
4.3.4.4 对我国高中数学课程改革的启示
德国2003年颁布的初中数学教育标准与2012年底颁布的高中数学教育标准之间保持高度的协调，数学教育标准研制的可持续、可衔接理念，对我国的高中数学课程标准修订有不小意义.德国高中数学教育标准还将数学能力标准和毕业考试标准放在一份标准之中，始终提醒人们，一方面对照标准设计教学，将具体数学能力发展纳入常规数学教学中，另一方面也明确将通过配套的考试评价诊断数学能力水平，监测数学教学质量.教学内容与考试内容达成高度一致，使得教学更具目标性.而反观我国高中数学课程改革，仍然存在课程标准与考试大纲分离的问题.为了追求高考成绩、追求升学率，教师更乐意以考试大纲为依据，而忽视数学课程标准的作用，课程改革以来应试风有增无减.当然，目前高考的彻底改革的春风已经吹来，在高考中对数学能力的考量也将成为主流.
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