澳大利亚中学数学课程的发展研究

4.3.2.1　澳大利亚课程发展概览

20世纪80年代以前，澳大利亚的六个州可以自行制定课程标准和编写教科书.随着州联邦两极分化的加剧、跨州转校学生以及移民学生人数的增加，“分而治之”的局面已难以维持.20世纪80年代初，澳大利亚联邦政府着手成立课程合作中心，各州联合开展课程项目，共同提升学校教育质量.1999年围绕八大核心学科启动研制国家课程大纲，为保障学生学业成就提供统一的基准.2005年澳大利亚再次兴起关于国家课程大纲、学生评价以及学校报告的讨论.2008年4月，以墨尔本大学麦克高（B.McGough）教授为主席的国家课程委员会（National Curriculum Board，简称NCB）负责起草英语、数学、科学和历史的课程标准，标志着全国统一课程改革正式启动.2009年5月，澳大利亚课程评估报告机构（Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority，简称ACARA）成立，负责监督从基础年级到12年级的全国统一课程的实施过程以及开发全国性测试.ACARA指出，全国统一课程的意义在于：促进学生学习，从而达到国家目标；注重让学生获得今后积极、自信地立足社会所需的技能、知识和综合能力；更有效地开发优质教育资源；保证学生和教师流动中的可衔接发展.［32］

从1989年至2008年的20年间，澳大利亚先后发布3个宣言：即《霍巴特宣言》（Hobart Declaration）（1989年），《阿德莱德宣言》（Adelaide Declaration）（1999年），《墨尔本宣言》（Melbourne Declaration）（2008年），促进数学课程发展为澳大利国家课程.

（一）《霍巴特宣言》

自20世纪80年代中期到90年代中期，以1989年《霍巴特宣言》为标志，澳大利亚开展了有史以来影响较大的课程改革.这个宣言首次提出国家协作（national collaboration）框架，以提升澳大利亚学校整体形象.宣言包括六个方面：共同商定澳大利亚学校发展全国性目标；提交全国学校发展年度报告；开展全国性合作课程项目；建立澳大利亚课程合作中心；商定共同的入学年龄；提升教学质量等.

宣言中提出学校发展中数学教学的目标，要培养学生的计算素养与能力以及其他数学技能.这里的计算素养强调学生要能够有目的地在其他学科中利用数学、在学校外的情境中利用数学.宣言提出要提交学校发展年度报告，其意图要监控学校成就，了解学校落实国家目标的情况，其核心是学校要评估报告学生参加学业评价的表现情况.联邦政府期待建立课程合作中心，为各州交流和分享课程发展经验、教训提供平台.宣言中没有使用“国家课程”概念，但期望各州在全国层面加强合作.

（二）《阿德莱德宣言》

1999年《阿德莱德宣言》取代《霍巴特宣言》，提出了21世纪学校发展的国家目标，它保留了《霍巴特宣言》的关于联邦层面合作的精髓.《阿德莱德宣言》提出为八大核心学科（学习领域），即艺术、英语、健康与体育教育、语言、数学、科学、社会和环境制定国家标准，以保证学生知识、能力和理解上达到统一要求.教育部长提出“学生应该获得计算素养和英语素养，使得每个学生应该有一定程度的计算能力、阅读能力、书写能力以及交往能力”.但是该宣言说明，各个州要承担起对学生学业水平监测和报告的责任，可以进行特定形式的评价和测试.

自20世纪90年代初以来，澳大利亚数学课程发展注重形成性评价，重点描述有价值的学生结果以及根据这些结果对于学生学业成就的报告.因此在课程发展过程中，开发并使用参考标准的报告框架.［33］教师的课堂观察是主要的评价实践，同时学生的自我评价也有助于教师观察到学生学习的关键要素.研究者提出的“数学文档”（Mathematics Profile）的评价工具，即收集官方（各州）对数学课程的要求，也收集学生的工作单，“数学文档”传递课程观点，教和学的过程，并报告学生的学业成就.以形成性评价——学生工作单档案袋的形式对学生学习质量进行评估，这是澳大利亚课程的原有特色.

（三）《墨尔本宣言》

近20年的各州学校教育积极参与课程发展，为真正意义上全国性课程标准的制定打下基础.2008年，联邦政府发布《墨尔本宣言》，指出课程发展进入关键期，各州要通力合作，保证澳大利亚建设世界级的课程.宣言正式提出，要建设全国性课程，要制定全国性评价标准，保证“以有意义的方式测评学生的学业成就，各州要合作开发全国性和学校层面的评价标准，为了学习而评价、对学习进行评价，以及把评价作为学习内容，从而对照国家标准和目标评价学生的学业表现”.

在发布《墨尔本宣言》之前，2007年澳大利亚政府创立了国家课程委员会（NCB），负责开发世界级的课程和评价，包括负责起草英语、数学、科学和历史的课程标准，这标志着全国统一课程改革正式启动.

4.3.2.2　澳大利亚首个数学课程标准

首个数学课程标准的形成

2008年，NCB启动起草数学等各科课程标准，这也标志澳大利亚开启首个全国性数学课程标准的研制过程.2009年，NCB公布“澳大利亚课程框架：数学”，指导编写相应的数学课程标准，包括内容和过程两个维度，其中内容标准包括数与代数、测量与几何、统计与概率三个领域；过程标准由四个水平：理解、熟练、问题解决和推理构成.澳大利亚首个国家数学课程标准的研制体现出如下三个特征：［34］

第一，强调以提升数学教学质量为目标，在教学过程中积极组织学习者参与复杂问题解决；第二，关注公平性，强调不同学生群体的各种不同学业成就，考虑由于社会经济条件、地理位置、文化背景等差异而导致的学业成就差异；第三，根据“让所有学生都经历完整的数学课程”理念，提高数学的可达性.

在课程标准研制过程中，澳大利亚课程评估报告机构还收集来自研究者的建议，作为完善课程标准制定的科学依据.例如研究者西蒙（Siemon）指出，内容标准中的课程内容“数”没有清晰地反映“核心概念”（big ideas）的思想，内容的序列和表述前后不够连贯，她提出内容标准研制团队之间应该相互沟通，形成一种良性竞争机制，而不是各自依据研究和实践经验作出“强制性”的决定.［35］另外，研制过程中，其他研究机构或团体也提出意见和建议，例如建议减少内容要求，为问题解决、建模等提供更多的时间等.［36］研制专家对各种意见和建议进行思考和探讨，重新审视内容的组织与编排，完善过程标准中的不同水平要求的表述.2011年3月公布澳大利亚F-10年级的数学课程标准.在这个课程标准中，研制者提出学生需要达到的四个不同水平的能力精熟度（过程标准），如表4-2.

表4-2　澳大利亚课程标准中能力精熟度的不同水平［37］

这个关于能力精熟度的要求源于美国研究者基尔帕里克（J.Kilpatrick）的研究成果，描述的是数学成功学习的表现，而不是反映数学过程和数学经验的表现.随着数学课程标准的公布，对数学课程标准的研讨成为数学教育研究的热点.本章将在4.4中详细介绍对与澳大利亚课程标准中过程维度的探讨.

F-10年级数学课程标准

首个全国性的数学课程标准（F-10年级）注重整体设计，包括两大部分：课程标准概览以及课程内容标准.课程标准概览部分对课程的理念和目标、内容的组织架构、成就标准、学生多样性、一般能力等作简要说明.课程内容标准部分则分别对F-10年级的学习内容、达到的成就要求进行描述.

数学课程理念与目标

澳大利亚统一的数学课程标准提出如下理念：要重视数学自身的价值和美，试图让学生欣赏到数学推理的美；要重视数学思想悠久的发展历史；同时重视数字技术发展对数学思想发展的贡献；要使数学各部分内容与其他学科联系紧密，确保所有学生能在经历数学推理的过程中受益.

基于上述数学课程理念，澳大利亚数学课程将目标定位于：

●确保学生成为有信心、有创意的学习者，并且作为数学的交流者，还能够研究、描述并解释他们个人及工作生活中的情境，做一名积极有用的公民.

●培养对日益复杂的数学概念的理解和认识，完善分析过程的顺畅程度，能够提出并解决问题，在数与代数、测量与几何、统计与概率领域能进行推理.

●认识到数学各个领域与其他学科之间的联系，并将数学看作是可以学好、乐于学习的一门学科.

课程内容结构

澳大利亚的数学课程标准设定的课程内容包括3个模块、4个等级.三大模块是数与代数、测量与几何、统计与概率；四个等级是理解、熟练、问题解决和推理.“理解”指能进行数学概念间的转化，建立相关概念的联系，根据所学知识产生创造性的想法；“熟练”指能作出合理选择，在解决问题过程中快速进行联想；“问题解决”指根据情况作出选择、预测、规划、建立模型并探究问题；“推理”指发展逻辑推理能力，如分析、证明、评价、解释、推广等.4个等级描述了学生数学学习的过程，与3个模块相互融合，以提高学生的数学能力和技能.

一般数学能力

澳大利亚课程标准强调包括知识、技能、行为和态度等一般能力，这些能力的培养一方面与学科密切结合，另一方面要重视跨学科学习中的能力培养.因此澳大利亚针对数学课程提出7个一般能力：包括读写能力，运算能力，信息通讯技术的能力，批判思维和创造性思维，个人与社会能力、合乎道德的理解，跨文化的理解.

课程的学业成就标准

课程标准在明确课程目标、内容标准的同时，提出学业成就标准（成就标准）这个概念.成就标准指明学生通过学校的学习应该达到的学习目标，它包含一份已经写好的说明以及学生的工作单样本.

成就标准描述学生的学习质量（知识程度、理解深度以及技能的熟练度），若学生的学习质量良好，说明学生很适合开始下一个阶段的学习.这样的成就标准贯穿F-10年级，描述着学生在整个学习领域中的学习进程，为教师设计并实施教学提供参考框架.

在成就标准中，学生的工作单样本在评价是否达到标准所描述的预期效果方面起了重要作用.每个工作单样本都包括相关的评价任务、学生反馈以及有关学习质量的一些解释.总之，成就标准的说明以及一系列伴有注解的工作单样本，会帮助教师判断学生是否达到了课程标准的要求.

以8年级的数学课程为例，课程标准描述8年级学生应该学习的内容，例如，数与代数模块包括数与位值、实数、货币与金融数学、图形与代数、线性与非线性关系；测量与几何模块包括测量单位的使用，几何推理；统计和概率模块包括随机性，数据表征与解释.

针对8年级的数学课程的成就标准：

在8年级结束的时候，学生能够解决包含比率、比例、百分数的日常问题.他们能够认识指数运算律且能应用于整数.他们会描述有理数和无理数.学生能够解决包含利润和亏损的问题.他们会把展开代数表达式和对代数表达式的因式分解结合起来.学生会解棱柱体积问题，他们能够理解真实应用中时间的持续性.他们会识别三角形全等的条件，并且推断四边形的性质.学生会用二维图表和文氏图表对真实情境建立模型.他们会选择合适的语言描述事件和实验.他们会解释与数据收集相关的观点，以及奇异值对平均值的影响，数据的中位数.

学生会使用有效的心算和笔算策略进行整数的四则运算.他们能够化简各种各样的代数表达式.他们会解线性方程，并在笛卡儿平面上画出线性关系图.学生能够转换面积和体积的测量单位.他们会通过计算确定平行四边形、菱形和筝形的周长和面积.他们能认识到圆的性质并能计算圆的面积和周长.学生会确定互补性事件，且计算概率总和.

8年级学生的工作单档案袋

对成就标准的评价主要依据学生工作单档案袋的记录，也就是说，有丰富记录的学生工作单档案袋有助于8年级课程的实施.

每个档案袋是学生学习的一个记录，是与成就标准相关的一份证据.针对每个成就标准有三种档案袋，分别表示很满意、满意和不满意的学生学业成绩.

每份档案收集了学生完成各种评价任务的工作单，事先没有规定一份档案袋里收集的工作单的数量以及顺序.每张工作单表明学生参加的或解决的不同的学习任务，或者教师提供的各种学习帮助.档案袋里有学生工作单的原件，也可以有学生的草稿纸、订错纸等，关键是工作单上内容是学生工作的内容.

教师或者其他课程专家需要对档案袋进行筛选、注解以及评语.澳大利亚课程评估报告机构在课程标准中为教师呈现学生工作单样本.下面是针对8年级数学学业成绩标准获得满意的工作单样本，涉及的内容是数与测量，针对的标准是学生能够解决包含百分数的日常问题，他们会通过计算面积解决日常问题.

图4-7　8年级数学学业成绩标准获得满意的工作单样本

上述工作单中的数学任务是“食物金字塔”，是为了复习巩固先前学习的比例、比率和百分数，教师给学生布置的任务，工作单上留下学生的解答过程、教师的注解.教师的注解为：将图形分为三角形，以便计算面积，但没有标出测量的长度；计算出面积；熟练百分数计算，但没有在问题情境下进行解释；将梯形分为长方形和三角形，以便计算面积.

下面是同样内容和标准下，获得非常满意的工作单样本.

(www.xing528.com)

图4-8　8年级数学学业成绩标准获得非常满意的工作单样本

作业单上留下学生的解题过程以及教师的注解（评语）.在这张非常满意的工作单上，教师这样注解：测量并记录所需的长度，以便计算面积；呈现每个解题步骤；熟练选择和应用适当的面积公式计算面积；百分数和计算熟练；使用合适的面积单位；基于问题情境解释计算出的答案.

下面是同样内容和标准下，获得不满意的工作单样本.

教师在这张“不满意的”作业单上留下这样的评语：测量并记录所需的长度，但是进行不必要的或不正确的测量；为计算面积将图形分割为三角形和长方形；回答了百分数问题，但没有给出理论或者计算；知道梯形面积公式可以用来计算必要的面积.

4.3.2.3　澳大利亚高中数学课程标准

澳大利亚高中数学课程由四门课程目标各异的课程构成.高中数学课程标准结构在重视整体设计的同时，特别强调发挥成就标准的作用.高中课程标准由两个相对独立的成就标准和课程内容标准组成.

图4-9　8年级数学学业成绩标准获得不满意的工作单样本

高中数学课程的目标

高中（11～12年级）学段设置的四门数学课程为：《基本数学》（Essential Mathematics）、《普通数学》（General Mathematics）、《数学方法》（Mathematical Methods）和《专业数学》（Specialist Mathematics）.

《基本数学》强调有效、批判性地运用数学进行非正式决策，为学生提供数学知识、技能和理解，从而去解决来自工作场或个人领域的真实情境问题，解决进一步学习和共同体领域的问题.

《普通数学》强调利用离散数学技术解决来自不同领域的问题，包括金融模型，网络分析，项目规划、决策以及离散增长和衰减，使学生能够分析和解决大量几何问题，例如测量，比例，三角测量，定位系统等，并发展学生的系统策略，从而回答统计问题，包括比较分类，探索关联性，分析时间数列等.它是面向将来从事农业、健康、社会科学、商业和教育的学生.

《数学方法》强调微积分和统计分析应用.微积分研究为理解物理世界提供基础，这些物理世界包含有变化率、函数的应用、导数、物理过程模型化等.统计研究有助于发展描述和分析不确定性和变式现象的能力.

《专业数学》重点面向对数学有浓厚兴趣以及希望在大学学习数学、物理或工程专业的学生，重点发展严谨的数学论证和证明，深度应用数学模型.它包括函数，微积分，以深化数学方法中介绍的思想，以及展示在不同领域的应用.专业数学也有助于拓展学生关于概率、统计的知识和理解，也介绍向量、复数和回归方法.

高中数学课程的结构

高中数学课程标准主要包括内容标准以及相应的学业标准，其中内容标准描述给定领域内需要学习和教授的知识、理解和技能；学业标准描述期望学生到达的学习质量，包括理解的深度，知识的广度以及技能的精度.

每门数学课程包括四个单元，后面两个比前面两个单元更具挑战性.每个单元学习半学年（一个学期）.每个单元都有细化的内容标准，对单元一和二以及单元三和四分别有一个细化的学业标准.

课程标准也包括学科目标，学科介绍，学科的一般能力以及跨学科特色，以及专业词汇表.

高中课程与F-10年级课程的衔接

每个澳大利亚高中数学课程旨在拓宽学生在F-10年级课程学习基础上积累的数学经验.数与代数的重点是利用离散数学技术解决情境问题.测量与几何聚焦在分析和解决各种几何问题上.概率和统计强调通过统计调研过程获取系统性策略.另外，高中课程强调信息与通讯技术的使用与应用.高中课程继续发展一般能力以及跨学科特长.每个课程都描述了让学生发展一般能力和跨学科理解的机会.

高中数学课程之间的联系

澳大利亚数学课程根据内容以及预设的目标进行分类.《基本数学》旨在利用数学去感受世界.《普通数学》为继续深造而设计，使得数学知识可以推动问题解决和进行决策.《数学方法》主要针对有数学兴趣并且今后在大学继续学习数学的学生设计.《专业数学》会与数学方法连接起来，并为有强烈数学兴趣的学生而设计.

《基本数学》课程标准

这里以《基本数学》课程为例，分析标准提出的目标、课程内容标准以及学业标准.

《基本数学》课程目标在于，让学生能够使用、有效、有益并且创新地应用数学，为其日常生活做出非正式决定.基本数学为学生提供数学知识、技能和理解，以便解决现实情境下的问题，现实情境涉及工作场所的、个人的、进一步以及继续学习和共同体下的情境.《基本数学》给学生提供机会来准备继续学习或培训.

具体而言，《基本数学》课程旨在发展学生：

●理解数学和统计概念以及技术；

●利用数学和统计概念和技术解决应用问题的能力；

●数学和统计情境下的推理和解释技能；

●以简约和系统的方式，利用数学和统计语言进行交流的能力；

●适当选择和使用技术的能力.

从课程内容角度看，《基本数学》共有4个单元，每个单元由不同的主题组成，所教授的主题与学生的需求以及兴趣相关.在学习《基本数学》时，学生将有机会利用他们的知识和技能探究含有数学应用的现实问题.表4-3是《基本数学》的单元内容.

表4-3　《基本数学》单元内容表

高中数学课程中的学业标准

高中数学学业成绩标准包含两个维度：概念和技能，推理和交流.这两个维度反映学生的理解和数学学习的技能.学业成绩标准首先提供一个由5个不同水平（从A到E）成绩的指标框架，然后结合学科内容将理解、技能等具体化，并以具体的例子（学生工作，成绩，反馈等）说明学业成绩标准的意义.

学业成绩标准也是动态发展的，即经过对学生学习工作、反馈等对学习任务进行评价，从而完善学业成绩标准.

国家课程标准强调，澳大利亚各州或者地区的课程、评价以及证书机构要承担起高中课程的组织与实施，要确定方案，如何将国家课程标准的内容与学业成绩标准渗透在课程中，形成一套良好保障机制.

澳大利亚课程评估报告机构根据如下的原则构建学业成绩标准：

1.给出一个特定的情境；

2.界定一致性或精确性的水平；

3.学生扮演特殊的角色（用动词来表现）；

4.课程的价值；

5.精准度，难度，复杂度的界定.

依据这些原则，课程标准提出一个个学业成绩标准.

在高中阶段，每个课程针对单元一和单元二，单元三和单元四分别提出一个学业成绩标准.学业成绩标准规定了学生应该掌握的概念和技能，以及推理和交流.以《基本数学》为例，概念和技能的掌握标准包括：

表4-4　《基本数学》中概念和技能的掌握标准表

表4-5　《基本数学》中推理和交流的掌握标准表