中学数学教育标准下的数学能力研究

德国数学教育标准的功能之一是评价学生数学能力水平，为了反映学生能力水平的个性差异.德国提出了包括六大数学能力的能力模型：数学论证，数学地解决问题，数学建模，数学表征的应用，数学符号、公式与技能的熟练掌握，以及数学交流；教育标准根据所需的认知要求的不同，分别将六大能力分为3个不同的能力水平.［31］以初中数学教育标准为例，对数学能力的界定如下：

数学论证能力

数学论证能力包括，一方面会把数学思想与数学的逻辑证明结合起来，另一方面能理解并批判性地判断各种形式的数学论证，如结论与假设的证明，数学定理与公式的推导，或者数学方法的有效性的检验.这些能力的培养应该贯穿于整个基础教育阶段，让学生从最简单直观的思考开始，直到严格证明的学习与应用.这些论证过程包含着基本的数学法则和规则的学习与体验.另外数学论证能力包括，学生能认识到某些不依赖具体内容的数学证明方法的普适性.

论证能力的外延是很广泛的，从再现已知的论证模式（如反证法），到反思论证模式的适用范围.标准将数学论证能力分解为如下3个水平：

水平一：能够重复并应用常见的论证过程（利用已知的定理、方法以及推论），会给出简单的运算或证明，用日常知识进行论证.

水平二：理解、阐述或提出直观的多步骤论证过程.

水平三：使用、阐述或提出复杂的论证过程；依据关于适用性、逻辑性等标准判断各种不同的论证方法.

教育标准强调，数学论证的质量不依赖于其形式化的程度，人们可以用各种不同的表达方式合理地表述相关的数学论证.

数学地解决问题的能力

问题解决能力是指：拥有适当的数学策略去发现问题解决思路或方法，并加以反思.这里的策略包括各种数学原则和辅助工具的使用，而不仅仅是数学算法的使用.这些策略在问题解决过程中应该是目标指向的，如利用分解原则、类比原则，或者根据已给数据进行推导；收集数据进行证明；系统尝试；用数学图像、表格等将问题直观化.

数学地解决问题的能力被分解为3个水平：

水平一：通过辨析以及选择某个容易想到的策略，解决某个简单的数学问题.

水平二：通过多步骤的策略性方法找出问题解决的途径.

水平三：构建一种精致的策略，进行完整的证明，或者概括出某个结论；反思检验各种不同的解决方案.

数学建模能力

数学建模过程强调用数学方法去理解现实相关的情景，提出解决方案，并认清和判断现实中的数学.这里数学模型起着关键作用，它是关于现实的简洁的数学表征，这种表征只考虑某些特定的因素，便于现实问题的处理.我们一方面可以用数学模型描述真实现象，如海藻的繁殖或者幸运转盘游戏（描述性模型）；另一方面可将模型用于表现某些事实的特定意图，如选举程序或者产品评估（标识性模型）.

数学建模过程分为如下步骤：

（1）理解现实问题情境；

（2）简化并结构化所描述的情景；

（3）将被简化的现实情景翻译为数学问题；

（4）用数学手段解决所提出的数学问题；

（5）根据具体的现实情景解读并检验数学结果.

每个步骤对应某种数学能力，这些能力构成数学建模能力的全部.这里的关键是其中的翻译过程，学生有目标地在数学以外的情景与数学内部的内容之间建立联系.这种翻译过程也发生在数学内部，如将几何问题代数化等，这个过程也被称为数学内部的建模.

数学建模能力被分解为3个水平：

水平一：熟练并直接辨别可利用的标准模型（如勾股定理）；直接将现实情景转换成数学问题；直接分析说明数学结果.

水平二：在一定的限制条件下进行建模；分析说明这类建模的结果；将数学模型对应适当的现实情景，或者调整模型使其适应现实情景.

水平三：针对复杂情景建立某个模型，在这个模型中需要重新定义假设、变量、关系以及限制条件；检验、评价并且比较模型.

例如，“加油站”问题可以检验水平三所要求的能力.

【例】小斯先生住在特利尔（Trier）城，离卢森堡20千米，他开着大众高尔夫（Golf）车到卢森堡去加油.在卢森堡边界有一个加油站，那里每升汽油的价格是1.05欧元，而在特利尔城每升汽油是1.30欧元.小斯先生是否值得前往卢森堡边界去加油呢？请论证你的回答.

为了解答这个比较复杂的问题，我们可以分几步完成：

（1）理解问题情境：这里关键是要考虑，是否值得开上20千米去比较便宜的加油站加油.

（2）将问题精确化并结构化：“值得”可被解释为降低个人的直接支出（而不考虑环境或者其他经济因素），因此需要找出并确定油箱容积这个参数（如45升），要确定耗油量（如每100千米耗油8升），以及离特利尔城某加油站的距离（1千米）等.

（3）问题数学化：K=K特利尔-K卢森堡（K为支出的费用）

K特利尔=1.30（欧元/升）×45（升）+1.30（欧元/升）×2（千米）×0.08（升/千米）（在特利尔加油需要的直接开支）(www.xing528.com)

K卢森堡=1.05（欧元/升）×45（升）+1.05（欧元/升）×40（千米）×0.08（升/千米）（去卢森堡加油需要的直接开支）

（4）数学解题：这里主要是项和等式的应用与掌握.

（5）说明并检验结果：在特利尔城加油约贵8欧元，因此开到卢森堡边界还是值得的.这是比较实际的结果，因为在卢森堡加汽油的话，每加4升油可以节约1欧元（总共可节约约10欧元），但是开40千米需要支出几个欧元（约6～8欧元）.

针对现实情景提出的这个模型应该是有效的.但是这个模型没有考虑另外一些重要的因素，例如汽车的损耗或者时间的消耗，因此可以使这个模型进一步精细化.通过建立数学模型分析解决现实问题时不仅仅是为了得到某个确切的答案，而是要给现实问题一个认真的回答.

数学表征的应用

这个能力包括，不仅会自己提出对数学对象的表征，而且理解性地应用已经给出的数学表征.这里除了图像表征形式，例如示意图、插图、照片、真实事件的草图、统计图表等；还有其他的表征，如公式、语言表征、动作或身体语言、程序语言等.

数学教育标准强调，某些表征例如插图不一定是数学信息的载体，可能仅仅起着美化作用或激发兴趣的作用，因此仅仅根据是否使用了表征，还不足以判断学生是否表现出数学表征的应用能力.在数学中要求把数学表征看作是数学内容的载体，只有当学生用某种表征形式来表达数学内容时，才有可能培养学生的数学表达应用能力，例如，提出或改变数学表征的能力；解释或评价给出的数学表征能力；转换各种不同的表征形式的能力.

这个能力被分解为3个水平：

水平一：针对数学对象与情景提出标准化表征并加以利用.

水平二：清晰地解释或者改变给出的数学表征；转换不同的表征形式.

水平三：理解并应用不熟悉的数学表征；针对问题制作自己的表征形式；有目的地评价各种不同的表征.

数学符号、公式与技能的熟练掌握

这个能力包括，数学符号与公式的使用或者数学技能技巧的应用.符号与公式的使用可以被看作“知道是什么”，例如知道直接可以回忆起来的内容（两点之间的中垂线的定义，或者结合律的应用）；技能的应用是指“知道如何”，例如应用某种算法，保证运算的自动运行（已知a+5=12，计算a）.这个能力具体包括如下要素：

数学定义、规则、算法或者公式的认识和应用；

变量、项、等式或者函数的形式化应用；

按照特定步骤，检验答案与过程；

几何基本构造的利用；

辅助工具的使用，如公式表或计算器.

这个能力通常与其他能力一起发挥作用，如数学建模中将现实问题翻译为数学问题时，需要用到上述能力，它被分解为如下3个水平：

水平一：使用基本的解决方法；直接应用公式和符号；直接利用简单的数学工具（如公式表、计算器等）.

水平二：综合应用数学方法；熟练掌握变量、项、等式以及函数；有目的地根据情境和目标选择并使用数学工具.

水平三：应用复杂数学方法；判断解答以及检验过程；反思数学工具应用的多样性以及可能的局限性.

数学交流能力

这个能力包括对文本的理解或者数学的语言表达，也包括对数学思考、解决方式以及结果的清晰的书面或口头表达.数学交流能力一方面能够接受数学事实、理解数学事实或判断数学事实；另一方面会表达数学事实，因此对认知有很高的要求.数学交流能力可以具体分解为如下3个水平：

水平一：表达简单的数学事实，从简短的数学类文本中识别并选择信息；

水平二：理解地表述数学解决方法、思考以及结果，解释他人对数学类文本的说明（正确的或错误的），从数学类文本中识别和选择信息（信息的复杂程度不直接对应数学运算的难度）；

水平三：设计能完整呈现某个复杂的解决与论证过程的方案，领会复杂数学类文本的意义，比较、评价并纠正他人的理解.

例如，“家庭宠物”问题的解决需要水平二上的数学交流能力.

【例】（摘自某报纸：德国家庭宠物越来越多）德国有越来越多的家庭宠物，从2004年到2005年，家庭宠物中的狗、猫、鸟以及其他小动物（不包括鱼类）的数量增加了1.3%，达到23.1百万，其中狗的数量增加了6%，达到5.3百万条；猫增加了2.7%，共7.5百万只；而鸟的数量下降8.7%，现在为4.2百万只.根据统计，宠物拥有者的年龄大多在40～49岁，占拥有宠物人数的25%.然而24%的宠物拥有者是60岁以上的退休人员.2004年在德国有多少只鸟以及多少条狗属于家庭宠物？

这个问题首先要考虑的是，如何从文本中提取相关的信息，以便进行数学建模活动，这里就需要中等水平的数学理解能力，在文本中辨认出相关信息.当然根据这段文本不仅仅可提出这个问题，还可提出其他有意义的问题，如这篇报道中是否有足够的信息，用来计算2004年其他小动物的总数量；请论证.或者一些跨学科的问题，如家庭宠物对小孩或者退休人员有何意义？

德国数学教育标准中提出的能力模型，不是静态指标，而是强调能力的发展是一个可持续的过程，它要求教学能从学生现有能力出发，根据现有学习内容，设计符合学生发展并且促进发展的数学类问题，使得所有学习者在整个学习生涯中数学能力得到可持续发展.

我国数学教育在关注知识体系的同时，也强调发展学生的数学能力.在研究数学能力的过程中，如何从我国实际出发，既吸收、发扬数学教育的传统特色，又借鉴国外已有数学能力研究的优点，建构一套完备的、符合社会发展所需的、细化显现的数学能力界定、评价体系，是今后我国数学能力研究需要做的.