中学数学课程发展研究：文化适应视角

按照上述五个原则，毕晓普提出，文化适应视角下的数学课程框架由三个要素构成：符号要素、社会要素和文化要素.符号要素涉及数学符号技术层面的重要概念，原则上是直接探讨“理性主义”和“客观主义”的价值.社会要素指向使用数学解释的社会多样性.文化要素则强调，数学是存在于所有文化的一种现象，又是介绍数学文化的技术手段.

3.3.3.1　探讨概念的符号要素

毕晓普指出这一构成元素包括了相关的数学活动：最常用的是计算和测量活动；与空间结构相关的定位和设计活动；与社会环境相关的游戏和解释活动.概念则为这六种活动提供符号技术.［22］

活动的符号技术

计算和测量与数字概念相关，但是背后的数学思想完全不同.计算的特点是离散性，与测量系统的连续现象成鲜明对比.这里不仅仅是概念上的差异，形成概念的社会情境也有差异.毕晓普指出，在“计算”这一概念上，刚入门学习时，应该强调对所有数的体验，感受组合数学和“简便计算”，而不是进行整数和有理数的算法运算.另外也需要渗透无限的思想，包括无限大和无限小，培养各种可能的与分数和小数有联系的极限思想.代数，作为概括数与数之间关系的表征，应该更为强调那种符号化的过程，通过数的名称、10进制、各种不同的矢线图、数线等重要内容，发展概念.与对象相比较，对事件的计算是理解预测、可能性和概率的根本，对大数事件的表征会激发起对系统、符号以及各种表征如频数分布图表的需要.

测量同样是数学思想发展的重要活动，包括比较、排序、测量质量等活动.所有文化都认可这些活动的重要性，但对测量活动价值的认识有差异.测量单位也应不同的文化而各不相同，有些地方使用的测量单位不同于我们熟悉的单位，例如，在巴布亚新几内亚，对于空间数量的测量有着自己的解释，距离单位是一天的旅程；两个花园相等于一个面积；铁桶的体积相当于水的体积等.他们在测量面积时会将花园的长和宽相加，而不使用在学校里学过的长和宽相乘，他们认为这是“白人使用的系统”.

毕晓普关注两个与空间结构相关的关键活动：定位和设计.定位强调的是空间的几何位置，对运动的控制，因此学习定位不仅仅是纸笔的练习.这些概念应该来自学生易于投入的活动，来自对这些活动的各种编码和符号化.也要发展学生描述运动和定位的语言和符号，这样的活动也会促进理解缩放环境（地图、照相等）的步骤.数学课程可以向学生介绍丰富的图形词汇，尤其当学生在活动中获得相关的“形状”认识的时候.毕晓普特别强调对学生来说认识极坐标比认识（笛卡儿）坐标更为自然，学生可能有LOGO活动的经验.同样，人们一般也不重视轨迹的这一几何形状，但是它对解释当今技术高度发展的社会还是很重要的.在他看来设计是客体和人工制品概念化的过程，有助于形成关于形状的数学思想.

毕晓普指出，由于文化不会直接将我们与物理环境联系起来，因此需要考虑能够将个体与社会环境联系起来的活动，游戏和解释这两个活动具有重要的数学意义.游戏与活动的程序和规则密切相关，模拟想象行为和假设行为的特征是“如果”；解释指向探究、概念化、概念分享等活动的认知方面.

他认为，课程框架的符号元素可以保障重要数学思想的广度和基础性.这一元素主要与上一节提到的原则三、四、五相关.尽管不存在一种客观的方法来评价“解释力”，但可以采用这五个原则的精神，例如“组合数学”对学生来说，比“三角函数”思想更为重要，“组合数学”中的许多情境对学生来说是可以理解的，并且根据学生已经有的基础也是更易于理解的.这六种活动使得能够向学生呈现数学思想与其他文化下的异同，例如学习数系、几何语言、定位、图形和设计，图论，测量等，其他文化下的数据是有利的课程资源.在数学课程中，要通过组织这些概念来呈现知识框架，通过丰富的情境性活动，探讨数学意义，数学逻辑以及数学联结，进行概括，举例说明它的解释性功能.

通过活动获得概念

文化适应课程的原则强调，要充分发挥数学课程的解释性潜能，因此这里并不强调把上述概念作为一个个教学主题，而是要学生通过适合他们的活动，在对他们有意义的环境下，形成这些概念，也就是说，学生在各种各样的情景下进行数学活动.学校环境能够为这些活动创造足够的平台.由于强调通过学习活动形成概念理解，因此有条件的话，还是需要准备各种可能的学具、素材、课程资源等.

另外，活动也需要适当的、包含有各种课程资源的挑战性任务来激发，这些任务可以涉及物理或者社会环境下的问题.然而重点不是在于课程资源或者环境本身，而是关注用于解释环境中的概念.

例如，在学生（儿童）身边不胜枚举的计算活动，以及在学校环境下对生日、家庭成员等的调查，都说明规律的重要性.问题结构性越强，越容易强调规律性、模式以及简便计算的需要.如“当六个人相遇时要握多少次手？”这一类问题与“六边形共有几条对角线？”这个问题相关.关于数的形式，斐波那契（Fibonacci）数列是一个很好的问题，它不仅与自然有关，还能解释自然，另外还能激发关于无限大的思想.一些“不可能”的问题，例如“天空中有多少星星？”能激发起关于统计调查的抽样思想.计算器能提供很多发现数与数关系的可能性，例如加倍关系，被10整除等.分数和小数能引发运算结果的表征，如“10件物品平均分给3个人”，每人三件最后还剩一件，或者或者3.33，依赖于这个物品不可分（杯子）还是可分（巧克力），或者“无限”可分.没有一个真实的物品会满足最后一个要求，这给人们讨论“极限”“无限小”的话题.

3.3.3.2　基于项目的社会元素

以上分析可见，数学课程的符号元素对于学生数学学习（尤其是概念学习）至关重要，但是数学课程还需要培养学生对数学社会价值的反思和批判意识，这就需要学生学会反思数学在社会发展历程中发挥的作用，因此这里强调的社会元素主要涉及数学发展的历史维度.当然，我们不可能向学生提供一门系统的数学史课程，因此将使用“范例法”以及“实用法”原则，让学生理解数学发展的历史与未来.更为具体的策略是“项目教学”，其思想根源来自杜威（J.Dewey）在20世纪20年代提出的实用主义教育思想.考虑到社会元素，这种项目教学包括三个方面：

首先，一个项目可以让人们投入到某个情境中，而且提供个别化的和个性化的教学，这通常在数学课程中被忽视.其次，一个项目可以鼓励人们使用各种不同的资源，激发思考解释世界的数学方法.要结合各种图书资源、视频等能表现数学思想和价值的材料，将这些材料与学生课程结合起来.再次，参与项目，有助于反思活动.通过研究和表述某个社会情境，在教师的鼓励下分析数学思想和特定情境之间的联系，并且带着批判的视角分析这情景，这时，数学就表现出其社会价值了.毕晓普针对来自社会元素的项目主题提出若干建议.

过去的社会(www.xing528.com)

这个主题的项目强调，引导学习者探讨数学发展在历史上的影响.用于探讨的材料是非常丰富的，可以根据学生的不同水平，选择不同素材，让所有学生都有机会参与这一主题的探究.关键可以放在数学的“控制”和“进步”价值上：尼罗河泛滥导致土地的划分；一年有多长；埃及金字塔的构造；水钟和沙石计时器；早期的定位技术；编码与解码；音乐的和谐与模式；艺术与数学的关系等.我们应该在数学课程中尽可能关注各类文化遗产.

现在的社会

这个主题的项目关注的是数学对现代社会生活的影响，上述有些主题可以沿用，但是从考察他们的现代意义出发的结合现代社会有其特定的主题，下面主要是体现“控制”的价值：钟与表；体育比赛；购买汽车；建筑设计；载人飞船；天气预报等.这里仅仅是列举部分可能的主题，这类项目的实施，需要大量与之相关的材料，除了数学类教材外，需要其他书籍、杂志或者信息源.这类主题往往是隐含着数学，其数学价值不是直接体现，需要学习者提取.

未来的社会

这一主题的项目主要围绕如何通过数学应用促进社会的“进步”展开，不同的社会情境可以选择不同的主题，更为主要的是，在特定的情景下探讨数学引导下的“进步”价值，也可以选择如何用数学模型预测未来的发展，因此可能会涉及政治或道德方面的问题，例如：在校学习的时间；在交叉口改进交通流量；是否有一个理想的等候队伍的长度；星际旅行的规划；奥林匹克运动会是否太大了；和平的付出；生活标准的比较等.

从数学课程角度看，似乎上述选题较为离谱，但主要是表现数学有助于开创性和民主化思想的养成，有助于决策能力的培养，“决策性”是进步的显著特征.

总之，上述三个方面的例子，使教师有可能帮助学生了解数学力量及其局限性，了解数学的解释性和表征性，有助于了解控制和进步价值的相对意义.这里强调的是“使教师有可能”，项目教学并不是说，学生处理其他人已经写过的东西，也不是说，教师退到一边，仅仅让学生做他们喜欢的.项目应该有助于发展学生的批判意识，探究关键价值.

3.3.3.3　基于探究的文化元素

为了完成数学的文化适应课程，有必要考虑这第三个要素，符号与社会元素将传达重要的关于数学思想在社会情境下的信息，但是学生不需要学习大量的数学内部活动本质，也不需要学习大量的数学思想起源.符号元素在一定程度上向学生表明，哪些数学思想是值得我们学习的，而社会元素则说明这些思想是如何被使用的.我们还需要另外一个元素来说明，这些思想是如何或者为何产生的，思考什么是数学.需要这文化元素的另一个理由就是，要认识到“数学及其用途”这一标题，可以用来刻画前面两个元素，可能会让人保持一种观念，即人们相信数学思想不仅是被发现的，而且是由于解决实际问题的需要而被发明的.

因此，这个元素的目的在于演示数学作为文化的本质，演示数学家从事抽象活动的经历，以及数学是被发明的这一事实.它旨在成为探索“开放性”价值的媒介，以便对抗那种由“神秘”引起的消极的感觉.因此这个元素的部分意义就是以学习者易于理解的方式，将学习者引导到数学文化的技术层面.因此这个元素也包括两个方面，作为文化的数学和作为科学的数学，尽管这两者很难区分.这两者都涉及思想、符号、概念和技术.与社会元素不同的是，这个文化元素探讨数学的内部标准，但是文化元素不是涵盖某个适当的目标，而是用“实用例子”来说明问题.毕晓普认为数学课程的文化元素应该以调研为基础.

探究（调研）是由个人（或者小组）承担的某个拓展性任务，但它是探索数学的任务，旨在模拟数学家的活动.一个探索活动包括两个不同的阶段，先是创造和发明阶段，去探索、分析和发展数学思想；然后是撰写探索报告阶段，第一阶段是“实验”，第二阶段是反思，整理撰写实验.例如可以探索：取任意一组毕达哥拉斯数，将这三个数相乘，结果总是等于60.这个结论正确吗？它永远正确吗？为什么？

探究是解惑和挑战的过程，为的是获取抽象数学思想，它不仅是技术层面的，而且是智力层面的活动，另外探究的本质是没有固定的终结性结果.人们可以从另外方向探索下去.也就是说，就像项目活动那样，探究活动可以按照学生的个人需求继续下去，有的学生可能会探索得非常深入，几乎成为一名“数学家”，对这些学生来说，这意味着未来生涯的专业性，也许他们真的愿意成为数学家.

下面同样是一些探索主题的建议.分两类，一是探索数学文化（小写），二是探索数学文化（大写）.

数学文化（小写）探索主题：手指计数法；混合进位系统；其他文化中的地图；循环日历；等.

数学文化（大写）探索主题：毕达哥拉斯定理的各种证明；斐波那契数列；帕斯卡三角形；偶数和奇数；等.