音乐领域也蕴含着丰富的数学应用.音乐是通过不同的音高、音色的声音和谐的组合和流动而实现的.音高是音乐最基本的要素，和谐是音乐最基本的要求，音高是通过振动频率决定的.人类很早就发现，当几个声音的频率比（发音器弦长）是简单的整数比时，这些声音的组合十分和谐，例如最简单的整数比1∶2，表达一个音和高八度的同名音，如1和1；次简单的整数比2∶3表达一个音和比它高纯五度的音，如1和5；整数比4∶5表达一个大三度音程，如1和3，4和6，这样的声音组合很和谐.因此，音高与和谐的问题是个数学问题.
在音乐中，对不同频率比的取舍，会产生不同的律制，它们有不同的用途.有一种称为纯律，也就是，从主音出发，用纯五度和大三度确定音阶中各音高度的一种律制.由于纯律音阶中各音对主音的音程关系与纯音程完全相符且其音响亦特别协和，故称“纯律”.
表3-1 纯律七声音阶的数据
纯律理论的产生，在西方可以追溯到大数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）.传说他经过一个铁匠铺，受铁匠打铁发出的和谐之声启发，通过比较不同质量的铁锤发出的不同声音测定出各种音调的数学关系.之后，又继续在称为“弦琴”的单弦乐器的琴弦上进行试验，找出了八度、五度、四度音程的关系，通过弦的长度的变化，把七声音阶产生出来.
虽然中国古代没有出现过关于纯律的理论，但古代七弦琴上有四个徽依次在弦长
处，出现纯律所独有的分母5，证实中国至少在公元6世纪就已应用了纯律.
欧洲在16—17世纪时，钢琴仍用纯律，转调极为复杂，并只能转少数几个调.为了转调方便有人提出应用十二平均律.德国作曲家巴赫（J.S.Bach）于1722年发表了为十二平均律的键盘乐器所作的《平均律钢琴曲集》，十二平均律随之普及.(www.xing528.com)
十二均律希望：所有的半音阶具有相同的频率比.涉及如下“公理”的转换：
●八度音程的频率比是1∶2；
●八度音程内含有12个半音阶.
它转化为数学问题：即求13项的等比数列，首项为1，末项（第13项）为2.于是公比应该是
用此法得到的音律称为“十二平均律”.
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