西方的弗赖登塔尔时代：中学数学课程发展研究成果

弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔（L.J.Brouwer）的学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席.作为国际著名数学家，弗赖登塔尔非常关注教育问题，他的一系列数学教育著作，影响遍及全球.1954年起担任荷兰数学教育委员会主席，1967年担任国际数学教育委员会（ICMI）主席，1969年发起在法国里昂举行第一届国际数学教育大会（International Congress on Mathematical Education，简称ICME），创建并主编《数学教育研究》期刊（Educational Studies in Mathematics，简称ESM），被公认为国际数学教育界的领袖，开创了一个数学教育的弗赖登塔尔时代.［41］

2.3.1.1　弗赖登塔尔的数学生涯

弗赖登塔尔出生于1905年，1923年在德国柏林大学开始其大学的学业生涯.在那个时代，柏林大学是除哥廷根大学外的又一个学术圣地，弗赖登塔尔不仅聆听到著名科学家的课程或者演讲，例如数学家施密特（E.Schmidt）、物理学家布朗克（M.L.Planck）、物理学家爱因斯坦（A.Einstein）等，而且有幸与受邀前来讲座的著名数学家布劳威尔（拓扑学不动点理论的开创者）结识，并于1930年成为他的助手.1927年夏季学期，弗赖登塔尔游学巴黎，聆听哈达玛（J.S.Hadarmard）、朱莉娅（G.Julia）的课程或讲座，丰富的学术思想汇集到弗赖登塔尔身上.返回柏林大学后，他获得攻读博士学位的机会，选择了当时的热点研究问题拓扑空间与拓扑群作为自己博士研究方向，1930年通过博士论文答辩，对拓扑空间的紧性进行开创性研究，创立了Freudenthal紧性等概念，成为世界著名的拓扑学家.他先后在阿姆斯特丹大学和乌得勒支大学从事数学研究以及教学.弗赖登塔尔在大学的数学教学给学生们留下深刻印象，抽象数学不再远离他们的理解.［42］这是弗赖登塔尔朴素教育观的最好例证，他解释说：“我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题，是为了把教师这一行做好.”［43］

2.3.1.2　弗赖登塔尔的数学教育生涯

弗赖登塔尔对教育的思考和研究的精力也倾注在中小学教育上.早在1936年，他组织了著名的“数学教育研究小组”，成为荷兰数学教育研究的领头人.［44］那时这个小组每周末都聚集在弗赖登塔尔家里讨论与数学教育发展关系密切的问题.第二次世界大战期间，战争使得研究小组的活动无法进行，但弗赖登塔尔利用教育两个儿子的机会，系统地阅读了所有与小学数学内容有关的算术、比例等方面的出版物，其中包括教科书、教学参考材料，以及一些重要的关于算术教育的教材教法理论书籍等.同时他运用数学和数学史方面的知识把所有这些出版物都“过滤”了一遍.结合自己对学生学习过程的观察，他在那个时期就已经得出结论：儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识，他对传统教育的目的提出质疑.

确立“现实数学教育”思想

弗赖登塔尔撰文提出，传统的数学教育往往使“大多数学生不知道如何把他们从课堂上学到的数学知识应用到物理和化学学习中去，也不知道如何在与他们息息相关的日常生活中应用课堂上所学到的数学知识”.他指出产生这种情况的原因在于，传统数学教育采取的是培养数学家的教育模式.在内容上，它提供给学习者的是一些正规的数学系统和现成的数学结果，“虽然这些系统是完美的，但同时也是封闭的，封闭到没有出口和入口，完美到机器亦能处理.一旦机器都可以介入，人的作用就不重要了”.［45］对这样的内容只能采用“灌输”式的教学方式，学习者的参与只能是被动的.这类似于把学生训练成计算机，只能被动地执行程序，缺少主动性和创造性.

弗赖登塔尔指出，需要发展一种新的数学教育，以完全不同的观点认识作为教育的数学和数学学习.他强调，数学是一项人类活动，作为教育的数学也要作为一项人类活动来对待.“人所要学习的数学不是那些封闭的系统，而是作为一项人类活动的数学，是从现实生活开始的数学化过程……作为人，学生具有潜在的再发现能力.”数学教育应当发展这种潜能，使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论，实现数学的“再发现”（reinvention）.根据这样的观点，数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始，不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始，沿着数学发现的活动轨迹，从生活中的问题到数学问题，从具体问题到抽象概念，从特殊关心到一般规则，逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取数学知识.得到抽象化的数学知识之后，再把他们应用到新的现实问题上去.数学教育应当是引导学生重复人类数学发现的过程，实现数学再发现再创造的教育.弗赖登塔尔的这些思想，构成了现实数学教育的思想基础.在他的指导和推动下，荷兰卓有成效地实现了从传统数学教育到现实数学教育的改革.与其他许多国家数学教育改革中曾经出现的轰轰烈烈、大起大落的情形不同，荷兰的数学教育改革一直以平稳、渐进的方式进行，“于悄悄然之中完成了数学教育领域里的一场革命.”［46］

挑战“新数运动”的课程改革(www.xing528.com)

20世纪60年代，“新数运动”的数学课程改革处于高潮，弗赖登塔尔对此提出质疑.他指出，新数运动的倡导者虽然是著名数学家，但他们对教育方面的问题知之不多，其中有的数学家此前从未做过任何数学教育方面的研究工作，由这样的数学家来主导如此重大的数学教育改革是不妥的.另外，他认为，作为“新数学”的出发点，诸如集合、逻辑、关系等知识内容过于复杂和抽象，不适宜在学校教育中引入.弗赖登塔尔以他丰富的数学教育研究实践为依据，提出数学课程应当首先让学生知道他们面对的内容是什么，给学生留出可以思考和可以动作操作的空间，如果内容本身像“天外来客”般让人感到无法琢磨，学生不知道该怎么做和怎样思考，就会感到茫然和无能为力.［47］

受“新数运动”的影响，荷兰政府也组建了“数学课程现代化委员会”，并开始进行师资培训，计划在中小学引进“新数学”.弗赖登塔尔对此明确表示反对.他指出，数学教育现代化与“新数运动”是完全不同两回事，“……不是因为我不喜欢现代数学，而是不喜欢把引进现代数学素材作为第一位的任务，我渴望看到的是数学教育的全面改革……”［48］弗赖登塔尔就科学的数学和作为教育的数学的不同功能进行客观和有说服力的分析，他指出，确实现代数学是强大的，因为仅仅一小块现代数学，就可以解释和说明科学和现实中许多浩繁复杂的现象，经常是几个结构简单的数学公式，就可以给出关系国计民生大计的问题解决模式.现代数学的高度抽象性使其应用领域日趋广泛，但这些只体现了现代数学的一个方面.另一方面，抽象就意味着远离现实，数学家往往认为，现代数学的力量就体现在它可以脱离产生自己的现实情景而独立存在这一点上.而学校教育究竟应该如何处理抽象化与现实之间的关系？“新数学”主张，在学校里应该教授那些作为最终结果的抽象数学结构，这些数学内容经过精心组织与安排，便于向学生大脑传递.弗赖登塔尔则认为这种传递更多是“灌输”，学生对学习的参与只能是被动的，它是一种类似于把学生训练成计算机的教育模式.弗赖登塔尔提出应该向学生讲授那些从丰富的现实情景中抽象出结构的数学发现过程，让学生经历形成数学系统化的活动过程，而不是学习系统化的最后结果.数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始，应该相信学生的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征，让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的，因此数学教育重在让学生经历人类数学发现的活动轨迹，通过自己的发现去学习数学，获取知识.

在“新数运动”的重大改革面前，弗赖登塔尔没有盲目附和，而是采取了一种冷静和客观的分析态度.他对“新数运动”的分析和评价最终被实践证明，他对荷兰本国数学教育改革的平稳发展作出巨大贡献，在国际上也受到尊重.

对“认知结构”理论的质疑

弗赖登塔尔在长期的数学教育研究实践中，逐步形成了一套适应儿童心理发展、符合教育规律、经得起实践检验的现实数学教育思想体系.其间，弗赖登塔尔也对皮亚杰（J.Piaget）的认知结构理论进行研究，他高度评价皮亚杰从心理学角度对儿童所作的观察.但是弗赖登塔尔对皮亚杰的研究对教学法有贡献持怀疑态度.他认为皮亚杰事实上并没有处理任何与儿童数的概念发展有关的实质问题.

皮亚杰的认知结构理论假设一种知识的结构是可以被建构的.以自然数为例，皮亚杰试图发现不同年龄的儿童是如何了解自然数和建构自然数的知识结构.然而，他所选中的自然数就其知识结构来说，是那个时期最高级、最艰深的知识结构之一，因为支配自然数结构的基础是基数理论，具体数的计算反倒无关紧要.在“新数运动”的课程改革中，人们以皮亚杰的儿童认知理论为依据，提出应当基于康托集合论中等势的概念在幼儿园进行数的教学.弗赖登塔尔描述了他所经历的教学片断：教师在黑板上用不同颜色在两个集合的元素之间画连线，以便解释什么是一一对应，但却不提如何计数和计算的问题.“新数运动”最后以失败而告终，在弗赖登塔尔看来，这足以说明以皮亚杰的理论设计这样的教学是不足取的.

再看另外一个例子，皮亚杰认为儿童认知发展是由“贫乏（poor）”的结构到“丰富（rich）”的结构，即由构造简单结构到构造复杂结构，弗赖登塔尔认为事实上恰好相反，他以几何为例加以说明.克莱因已经在爱尔兰根纲领中给出了几何的层次结构拓扑的，投影的，仿射的和欧几里得的，用弗赖登塔尔的话说，这就是一个由“贫乏”到“丰富”的结构.因为任何人都会同意，儿童对几何的认识是从画不规则的圆开始.既然儿童差不多都可以在标准的圆和其他不那么标准的圆之间作出区分，是否就意味着小学的数学课程应当从拓扑问题开始呢？弗赖登塔尔对皮亚杰认知结构理论的质疑应该是有意义的.同时对皮亚杰的研究也使得弗赖登塔尔更加清楚地意识到，对数学教育应该采用更为实践的策略，而不是以过于理论的方式.［49］

弗赖登塔尔一生发表关于数学教育的著述数百篇，其中包括已有中译本的《作为教育任务的数学》（Mathematics as an Educational Task，1973）和《数学教育再探——在中国演讲》（Revisiting Mathematics Education，China lectures，1991），以及《播种和除草》（Weeding and Sowing，1978），《数学结构的教学现象学》（Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，1983）等.尤其是《数学教育再探——在中国演讲》让我们回忆起1985年80岁高龄的弗赖登塔尔访问中国时感人的场面，他那些充满新观点并极具感染力的演讲成为我国数学教育研究的宝贵资源.