《克莱因时代对中学数学课程发展的影响》

德国数学家克莱因对他这个时代的数学教育发展有着特殊贡献，且影响至今.作为著名的数学家，他坚定地以“圈外人”的视角关注教育，为教育发展与研究注入巨大能量.他聚焦于中学数学课程评价与开发的研究，特别重视数学教育制度的国际比较，直接催生了在国际数学联盟（International Mathematical Union，简称IMU；1900年成立于巴黎）下成立国际数学教育委员会（ICMI；1908年成立）这一分支机构，并担任ICMI首任主席.这些贡献被誉为20世纪初的“克莱因改革”，从1908年至第二次世界大战爆发前夕（1939年）被称为数学教育的“克莱因时代”.［2］

2.1.1.1　克莱因的数学成就

也许是巧合，克莱因的生日也富有数学意义.他的生日为1849年4月25日，刚好是素数43、2、5的平方，出生地为德国莱茵地区的杜塞尔多夫.1865年秋，克莱因进入波恩大学学习，刚开始由于贫乏的基础知识，在学习数学、物理及植物学课程时，他既不能理解数学，也没有对数学特别感兴趣.1866年，他成为普吕克（J.Plücker）的助手，帮助他准备实验.普吕克既研究实验物理学，又是一位数学家，他当时正在进行解析几何的研究，力图把空间解析几何建立在以直线为元素的基础上，克莱因积极协助普吕克进行这些方面的研究，通过协助普吕克使他对数学和物理学产生了兴趣.在普吕克的指导下，克莱因完成博士论文“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”（ueber die Transformation der allgemeinen Gleichangdes Zweiten Grades Zwischen Linienkoordinaten auf eine kano-nische Form，1868），并于1868年12月12日获得了博士学位.

1869年初，克莱因离开波恩前往哥廷根，协助接替黎曼（G.F.B.Riemann）的克莱布施（R.Clebsch）整理普吕克的遗著，出版了《新空间几何学》第二卷.在克莱布施的推荐下，1872年10月，克莱因到埃朗根大学就任正教授，在大学评议会上他作了“新近几何学研究的比较分析”（Vergleichende Betrachtangen über neuere geometrische Forschungen）的就职演说，即著名的埃朗根纲领（Erlanger Programm）.

聪慧、热情、执着的克莱因23岁时已经是他那个时代世界著名的数学家，在数学上的突出贡献是用群的观点来统一整个数学，具体来说就是：（1）提出埃朗根纲领，用变换群的观点统一几何学；（2）用几何学及群的观点来研究五次及五次以上代数方程及线性常微分方程；（3）用群与几何学的观点来研究函数论，发现自守函数，它是椭圆函数等的重大推广.他用群把几何学、代数学、分析学连接成统一的数学整体.同时，与他人合作，直接或间接地将代数数论、不变式论、数学物理等领域连接在一起.

2.1.1.2　“克莱因”数学课程改革

克莱因不仅在数学上卓有成就，而且毕生致力于把现代数学知识传播给大众，尤其是传播给工程技术人员、教师以及中学生.他倡导将现代数学内容和思想引进中学数学课程，促进中学数学课程内容的现代化.他认识到培养优秀教师的重要性，在大学首创数学师范专业，并进行课程改革，强调设计直观的、有广泛应用性的、贴近实践的课程.另外他深刻地认识到在职教师对于数学课程改革的重要性，因此倡导数学教师培训的专业性.他在德国推进数学教育改革的同时，充分借鉴英国、法国等邻国的改革经验，也充分发挥他自身的文化交际能力，在世界相关国家宣传改革思想，推进了数学教育研究的国际化进程.因此在国际数学教育委员会（ICMI）成立之际，他毫无争议地通过德国教授的推荐成为委员会首任主席.他擅长交际的个性在他成功道路上起着举足轻重的作用，他自己对这一点也深有体会，有一次他说道：“学生时代，我通过人际交往学到的比通过课程学到的要多.”［3］

促进中学数学课程内容现代化

1868年，克莱因在他博士论文中已经提出“真心期待，除欧几里得方法以外，新的几何方法也能进入数学课程”.［4］1872年10月，克莱因在埃朗根纲领中又一次强调促进高中教育发展，其主要目的是将新的几何思想引入高中内容，在较高的理论观点下组织数学课程.

19世纪欧洲的社会环境为数学发展提供了适宜的舞台.尤其是1789年法国资产阶级大革命推动了民主精神的形成，树立了重视数学与自然科学教育的风尚.这在很大程度上鼓励了大批有才干的青年步入数学教育及其研究领域.法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，人们敢于突破禁区.英国新一代数学家突破近一个世纪以来以牛顿为偶像的故步自封的局面，使英国进入世界数学发展的潮流.为推动各自国家数学发展和促进国际学术交流，英国最早成立伦敦数学会（1865年），之后法国数学会（1872年）、美国数学会（1888年）和德国数学会（1890年）相继成立.在19世纪末，由各国数学会发起在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会（1897年）.显然，欧美国家统治阶级逐渐认识到，要对数学与自然科学教育进行长期的现代化设计，这将有助于各国在世界经济和军事的国际竞争中获得稳固地位.

历来重视精神科学的德国在这场国际竞争中表现出更多的是犹豫.他们更重视传统的文法中学（Gymnasium），而忽视实科中学（Realshulen）的发展，因为这类中学毕业的学生没有继续接受高等教育的资格.另外学校的数学、自然科学教师与哲学、历史专业的教师地位也很不平等，数学与自然科学教师没有向上级部门晋升的机会.为此，实科中学教师，尤其是数学与理科教师，努力争取让学校、让自己获得一定的社会地位.1891年10月5日，布朗施维（Braunschweig）高中学校的代表们成立了数学和自然科学教育促进协会（Verein zur Foerderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts，e.V.，简称促进协会），旨在让人们以及社会认可数学以及自然科学学科，并使得这些学科的教师获得与哲学和历史教师同等的地位.1894年，克莱因与促进协会取得联系，并成为会员，因为他认识到高校代表必须与高中学校合作，以便既能在较高的理论水平上，又能贴近实践地设计教师教育.

根据这种既重视理论又强调实践的思想，克莱因在哥廷根大学开始培养数学师范生.他的兴趣不仅在于改革课堂教学的方法，而且在哥廷根大学中最早创立“数学教学论”（Didaktik der mathematischen Wissenschaften）师范专业，同时克莱因参加高中数学教师的各种培训.19世纪90年代初，在柏林、法兰克福和哥廷根举办自然科学暑期班，为已经有实践经验的教师传授现代的科学知识，课程主要包括电子学理论、电子技术、有机化学等领域的最新进展.克莱因则于1892年为数学教师组织了暑期班.在克莱因的组织领导下，哥廷根每两年举办一次数学教师培训.在培训过程中，为消除高中教师与大学教授之间的陌生感，克莱因再次发挥他有力的交流沟通能力.他曾在培训报告开始就诚恳地表述：“我希望，你们不要把我看作一个外人，误以为我只是简单地对数学教学进行批判.我是学校的好朋友，结合自己的专业，在思考数学教学问题的多元化.”［5］克莱因为教师们作了一系列的报告，并且与里克（Rieck）合作，将1900年和1904年暑期班上的报告编辑成报告集出版，题为“应用数学和物理对高中教学的意义”.

2.1.1.3　“克莱因”数学课程改革若干成果

关于高中数学课程的再设计

克莱因在1904年的暑期班上以“当代高中数学课程的再设计”为题，［6］为教师解读1901年普鲁士数学教学大纲中对“函数概念”的要求以及对“坐标概念”的要求.通过对教学大纲中具体内容要求的解读，他解释如何从初中阶段起体现教学大纲中的这些要求，并建议采用合理的螺旋上升方式设计数学教学内容.例如，几何情境中的函数概念应该像费马定理那样渗透在数学内容中，还要考虑分析几何，以及初步的微分和积分运算.在报告中，克莱因向教师详细分析积分与微分运算的基本概念；他同时从比较的视角和教师一起分析这些再设计的意义，组织参加培训的教师自主阅读关于法国数学课程改革的资料，随后引导教师进行比较分析.

对数学课程改革的反思

克莱因关于数学课程改革的思想之所以能够在中小学教师中有影响，主要在于他的自我反思和勇于批判的精神.克莱因指出高校数学研究与中小学数学课程、数学教师之间存在沟壑，这将会导致数学课程发展存在相应的问题.首先，高校研究者在强调数学课程内容现代化的同时，并不关注可能的教学方法，更不关注中学生的数学思维.其次，克莱因经过自我反思后指出，高校教师关于数学课程内容改革的建议往往只考虑为了培养数学家的课程，而没有关注其他学生的课程.他强调，数学课程改革应该考虑，若学生将来成为医生、化学家、新闻记者，他们应该学习怎样的数学课程内容.克莱因在分析1900年以来学校改革的特点时强调，尽管人们提出不同类型学校应该设置适合其发展的特定的教学目标，但是他始终坚持着自己最初的信念：实科高中应该培养特殊的数学和自然科学人才.一些现代数学课程内容（分析几何、微分积分运算初步等）应该是各类学校共同学习的内容.

与“数学和自然科学教育促进协会”的合作

如上所述，克莱因很重视与促进协会的对接.促进协会邀请克莱因参加1894年在威斯巴登（Wiesbaden）召开的全体会议，并就教师培训暑期班事宜向克莱因寻求指导.根据克莱因的建议，1895年在哥廷根召开第二届促进协会的全体会议，所探讨的主题为高校教学与高中数学教学的关系，克莱因亲自为大会作题为“师范生需求视角下的哥廷根大学数学教学”的报告.克莱因在这次哥廷根会议上，用现代科学研究的观点，讨论了著名的古代三大几何问题（倍立方、三等分角、化圆为方），切实地为大学数学研究与中学数学教学更紧密地结合起来作出贡献.克莱因将这些讲座汇总成名为“初等几何的著名问题”的书籍.书中以简明易懂的方式回答如下问题，“在什么情况下几何作图是可能的？用什么手段可实现几何作图？什么是超越数？如何证明是超越数？”［7］让中学教师及时了解现代数学的发展.

关于教师培养以及中学课程，克莱因有着自己的主张.1900年，柏林文化部长阿尔特霍夫（Althoff）邀请克莱因作为数学教育的代表参加教育年会.克莱因在会议上不仅系统阐述自己的改革思想，而且以他生动的讲演风格，引起与会者的讨论并理解数学课程现代化的必要性，他提出：“每件事情都证明，当我们从学术角度理解自然科学的基本原理时，我们至少要掌握微积分的初步知识以及分析几何的初步知识，也就是说要掌握高等数学的最初等的内容.有些文法学校的老师，已经在课程中引进了这些内容.但问题是，是否需要在教学大纲中为实科高中的课程预留空间.”［8］

尽管1900年11月26日文化部颁布文件，要平等对待三类高中，但在1901年的普鲁士教学大纲中，对数学教学没有具体要求.克莱因则为教学大纲改革努力着，他梳理了国内外的数学-科学教育改革运动，发现1901年法国从政府层面颁布高中教学大纲，其中将函数概念、微积分运算等作为高中数学基础.结合数学教学的现代化设计，克莱因经常在报告或者出版物中提出他的观点，促进德国数学教学水平的提高.让人敬佩的是，尽管目标没有达成，但克莱因开创性地组织了各种各样的高中教师培训、高校教师与中学教师对话等专业活动.

促进数学与自然科学的整体发展

1822年成立的德国自然科学研究者和医生协会（Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Aertzte，简称自然协会）在世纪转折期特别关注高中课程改革，他们也考察法国和英国的改革经验.1901年，自然协会在汉堡举行全体会议，邀请克莱因参加.他利用这一机会，建议探讨数学与自然科学的整体发展状况.自然协会根据他的建议，1904年在布莱斯劳（Breslau）召开会议，进一步探讨数学与自然科学的整体发展.克莱因的建议之所以被广泛接受，是因为他论证了课程设计的理论性、直观性和实践性，同时也描述了专业人员和技术与工业领域人员的兴趣.克莱因并不是仅仅探讨数学学科，而是强调数学与自然科学的共同发展.他曾在哲学家大会上，通过各种报告，呼吁哲学家和历史学家破除他们对于数学与自然科学的偏见，希望他们认同数学与自然科学专业.

克莱因在1904年的布莱斯劳自然科学研究者大会上作大会报告，探讨了数学与物理学科整合的必要措施.为了具体落实大会提出的改革建议，克莱因建议成立教学委员会.在他的努力下，一个由12人组成的布莱斯劳教学委员会（Deutschen Mathematiker-Vereinigung in der Breslauer Unterrichtskommission）终于成立，该教学委员会隶属于“自然协会”.1904年至1907年，由数学家古茨默（A.Gutzmer）担任主任，每个专业选出一名代表，另外促进协会的主席和德国工程师协会也派出一名代表，克莱因代表德国数学家联盟成为委员会委员.

这个教学委员会的任务是制定各种改革建议或方案.克莱因负责数学教育改革，重点是数学和物理教学的改革.例如，1905年制定的米兰纳（Meraner）教学方案提出要加强空间直观能力的培养，加强函数思维的教学.1907年他在德累斯顿报告了高中课程改革进程，强调要特别关注应用性学科.他在报告中指出“大学不同专业的专家要相互理解，不同学科间是有相似性的”，并强调“大学对师范生进行学术性的培养.参与培养教师的大学，应该重新思考培养方案、课程等”.［9］他以数学与自然科学领域为例，阐述了隶属于自然协会的米兰纳教学委员会应承担的任务，并强调如何在大学针对高中教师的培养开设数学与自然科学课程.克莱因在会上首次建议师范专业开设数学-自然科学的双专业（如数学/物理，化学/生物）.随后他又对教师的继续教育体制提出建议，要求创建高中教育研讨班或者开设暑期班.克莱因向教学委员会提交了许多建议，并得到理解与支持.然而他的建议中最重要的一点没有取得成功，那就是如何实现他的建议.他关于引进微积分导论的建议也没有得到所有人赞成，促进协会主席皮茨克（F.Pietzker）还提出反对意见.教学委员会让教师自己决定安排课程内容，因此在现实课程教学过程中，单凭教师的力量很难取得改革成功.然而，克莱因并没有放弃他的关于提高数学教学理论水平的观点，他将自己多年的思考转化成三卷本《高观点下的初等数学》，这三卷本著作出版后，对教师培养与培训影响巨大.

他在第一册的前言上写道：“这新的著作，是呈现给数学大众，尤其是呈现给高中数学教师的，它是继‘关于高中数学课程’（1904年）报告之后的又一份报告，特别是对几年前出版的‘数学课程组织’的拓展.当时为教师提供可能的数学练习的各种形式，现在更为一般的意义上讨论，如何自己开发数学内容和练习.在此我力求给教师或者师范生以各种简单又有意义的方式.从当今学术观点看，描述数学课堂上可能涉及的内容和基本概念.”［10］

教师教育的改革

1908年，克莱因继续着自己的数学教学改革之路.同年1月，德国数学与自然科学教学委员会（DAMNU）成立，它由数学自然科学促进会代表以及VDI代表组成.克莱因担任下属的教师教育委员会主任.这个委员会成立的目标在于，将布莱斯劳的改革建议加以落实.因为当时克莱因代表哥廷根大学成为普鲁士上院成员，这为实现改革理想提供了机遇.上院是指普鲁士议会的第一议院.这个议院又建立了一系列的委员会.当时在克莱因建议下，成立一个专门的教学委员会，克莱因担任该委员会主任.因此克莱因终于有机会实施其改革计划，同时参与修改普鲁士的一些关于数学与自然科学的法律条文.上院的这个教学委员会（DAMNU）不仅探讨高中的问题，也研究大众学校、初中学校、继续教育学校的问题.上院不仅为了满足工业和技术发展的需要改革教学，而且克莱因与DAMNU合作，为大众学校以及初中教师的培训编制教材，开展讲座等.同时他需要努力申请经费，为此他于1910年作题为“普鲁士上院的文化教育事业”的报告，报告中指出：“财政部长先生不是十分乐意，把这么一大笔经费用于这些事件上.我想表达教学管理事务的请求，用在这些事情上的经费与1.6亿相比是很小一个数目.对我来说好像就是，要购置实用的工具，以便使得实惠的并且较好的工厂能够运作起来.”［11］

克莱因的一系列学术活动以及组织活动，也影响并推动着世界数学课程改革.1908年4月11日，在意大利罗马召开的第四届国际数学家大会上，宣布成立国际数学教育委员会（ICMI），旨在比较研究世界各国数学与教学大纲以及教学方法等.由于布莱斯劳教学委员会上的种种改革措施影响着世界数学课程发展，因此当时希望推荐德国代表担任主席，布莱斯劳教学委员会主席古茨默放弃这个位置，而推荐克莱因担当主席，这个建议被广泛认可.德国数学家、数学教育家克莱因成为国际数学教育委员会第一任主席.(www.xing528.com)

从此他更为积极地投入到国际比较研究领域.当时国际数学教育委员会的任务就是要比较分析他始终坚持着的数学课程理想：“当前，在教学大纲中需要留出空间，考虑微积分运算、分析几何即画法射影几何等内容，或者从数学角度研究高校物理的学习.今后还要比较引进概念的特定方式方法，或者比较各国提出的基本概念.”围绕这些问题，克莱因组织调研和讨论，随后发表不少研究成果.在克莱因的领导下，德国出版了德国数学教育论文集（1909—1916）.

从论文集的前言与后记中可以发现，克莱因对第一次世界大战的矛盾心理.一方面，他为由于战争不得不停止国际比较学术活动感到遗憾；另一方面，他又支持学校数学教育为军事教育服务.法国科学院因为克莱因对“文化世界的呼吁”，取消了他的成员身份，德国政府则争取保留其主席身份，以便战争结束后，继续课程改革.1928年，国际数学教育委员会重获新生，不幸的是，克莱因于这一年与世长辞，委员会推荐美国数学家史密斯任第二任主席.

20世纪初，德国传统的教学意识形态重新回头，精神科学学科得到较多的关注.克莱因在病榻上写公开信，呼吁要重视数学与自然科学教育，相关协会也集体游行抗议.但是，由于与当时统治阶级的教育政策和教育学基本观念的抵触，“克莱因改革”遭遇失败.

2.1.1.4　克莱因改革理念

克莱因改革的目标受到19世纪中期的各种流派的影响.首先，克莱因改革的目标是新人文主义思想的体现；其次，克莱因努力从心理学、教育学角度构筑数学课程，同时充分考虑应用的需求（当时恰逢工程师运动）.克莱因将这些流派的思想完整地体现在他的改革思想与行动之中，表现出了他改革思想的整体性.1905年，米兰纳报告首次整体描述克莱因改革的目标：

“课程的制订不仅仅要适应精神科学的发展，而且要与现有的各种观念联合起来，将新的认识与已有的认识有机地结合起来，要逐步有意识地认识到知识内容的联系，亦即知识与其他学校教育内容的联系.今后还将探讨，在认清数学的形式教育价值的同时，要放弃所有单一的、缺少实践的特殊认识.要尽快发展学生用数学眼光观察我们周边世界的能力.在此要考虑两个特别的任务：加强空间直观想象能力及函数思维能力的培养.当然也不能忽视数学教育关于培养逻辑推理能力的目标.我们可以这样来表述，通过重视上述两个特殊的数学教育改革，逻辑思维的培养才有意义，只有将数学与学生感兴趣的领域结合起来，在其感兴趣的领域中学生才会运用其逻辑能力.”［12］

克莱因改革的目标也反映了他的改革理念，即强调空间直观想象能力以及函数思维能力，这两个能力的培养是这次课程改革的核心.针对如何根据米兰纳报告制订教学大纲，米兰纳报告有更为细致的说明，其中提到：几何教学应该体现其自然的直观性，“要避免过于细致，使得本来感觉自然明了的东西，由于刻板的证明体系，让理解变得陌生，而应该将所有的逻辑证明成为对自己思想中发生思考的整体认识能力，当然要逐步引进这种方法”.［13］

在提出改革建议的同时，也对教师进行问卷调查，整理出10个改革主题：［14］

（1）削减代数的抽象运算；

（2）学习函数概念；

（3）引进微积分初步；

（4）同时学习平面几何与立体几何；

（5）学习球体截面（分析，综合，射影几何）；

（6）根据认识理论深化小学的几何内容；

（7）几何作图与立体几何课程内容的关系；

（8）进一步强调应用；

（9）进一步强调历史发展；

（10）自主设计高中课程.

关于引入微积分初步，是最为引起探讨的话题.克莱因是学校引入微积分的推动者，当时米兰纳报告仅对无穷小运算内容提出要求.直到1925年，微积分运算才进入教学大纲要求，同时也引发争议，尤其是高校教师纷纷提出意见.

2.1.1.5　克莱因的几何课程改革

克莱因课程改革核心思想之一是：将直观理解的基本概念渗透在数学课程内容中，这些内容包括代数、平面几何、立体几何、三角函数、分析与画法几何.克莱因课程改革摒弃了欧几里得几何体系，在教学中不使用严谨的逻辑演绎结构，而是用“产生”（构建）结构；他也放弃欧几里得证明方法，强调图形的运动和映射.

克莱因更多地从教育学角度而不是从数学专业角度思考改革问题.1870年启动改革，他曾经发表如下观点：“在应用领域，过早地引出数学定理，没有让学生真正认识现实中的需求，这会使学生缺乏领会问题的兴趣.在教学中，只强调逻辑关系，而忽视心理过程，也会让学生束手无策.逻辑思考对数学来说，就好像动物生物体的骨架（没有骨架也就没有皮肤），如果动物学课程一开始就和学生谈论动物的骨架，这类动物学课程会让学生感觉迷茫.”［15］

当时，克莱因提出要采用生成性教学法，而不是之前占支配地位的演绎教学法，倡导通过学生构造以及作图，培养其空间直观能力；另外要重视几何的应用问题.而数学逻辑则伴随在整个学习过程中，在学习中，学生会越来越清晰如何进行逻辑思维.

克莱因不赞成学校教授欧几里得几何体系，他强调以新的公理体系来进行几何教学，“要结合儿童的领会能力以及他们的自然兴趣.如果将欧几里得几何作为数学教材会误导学生.让我们再翻开《几何原本》巨著，可以发现它不是为儿童所写”.［16］

克莱因的改革思想立足于对儿童的关心，希望教授适合儿童学习的数学，提出在学校数学教学中要重视模型、工具以及实践活动.他在非常著名的三卷本《高观点下的初等数学》中特别强调：“教学不能仅仅依靠教学内容（教学素材），而是首先要看所教授的对象（教学主体），同样一样东西给6岁小孩描述的方式是不同于给10岁小孩描述方式，当然也不同于给成人的描述方式……人们首先要把学校与生动具体的直观联系起来，然后逐渐地提出逻辑元素，可以证明这种生成性教学方法是非常合理的，它能让学生与生成过程一起成长.”

在从数学家角度探讨无穷小演算时，克莱因也提出精辟的教学思想：“（1）借助图形（在傅里叶和泰勒级数里逼近曲线）来说明抽象思想；（2）强调与相邻领域的关系，诸如与差分法、插值的关系，最后是与哲学研究的关系；（3）强调历史的发展；（4）展出一些普及著作的样本，以说明受到这些著作影响的大众观念与受过专门训练的数学家的观念的差异.”［17］克莱因也重视具体的模型和动态工具的教学意义，例如他指出每位数学教师都应该熟悉计算器（计算机）及其算法原理，以便在学校数学教学中给学生进行展示，帮助学生了解数学的语法和语义之间的抽象区别.［18］

克莱因就是这样通过各种方式传播自己的思想：要从教育学的角度思考课程改革，要关注儿童的自然兴趣；还要从课程内容的角度思考改革，要关注内容的生动、直观以及应用性，在这前提下，再关注逻辑演绎.