数学本身的抽象性、严谨性困扰着我们进行数学教学，因为数学的抽象性和严谨性在很大程度上被异化了.一提数学，首先就是抽象，使数学远离人们的实际经验和日常生活；其次是过分强调严谨性，把数学等同于逻辑，又把数学淹没在形式演绎的海洋里.对此，斯蒂恩（Steen）精辟地描述如下：
“许多受过教育的人，特别是科学家和工程师，所持有的一种对数学的形象是把数学比喻成一棵智慧的树：公式、定理和结论犹如其成熟的果实有待过路的科学家采摘以滋养他们的理论.而数学家则认为他们的领域就像快速增长的雨林，由数学外部的力量所滋养和形成而又对人类文化贡献出丰富而又始终更换新貌的智慧动植物群.这种感觉上的差异主要是由于抽象语言的严峻和崎岖的环境把数学的雨林与普通人类活动的领域分隔开来.”［64］
那么正在接受教育的人又会如何看待数学？当数学成为学校必修课程时，它承担着怎样的课程目标？培养学生怎样的数学观？在此我们从宏观角度加以探讨，考察数学作为一门学校课程对学生的普通教育、专业教育、职业发展以及学生日常生活的特定意义.
学校承担着学生普通教育的目标，作为学校课程的数学课程需要保障这些目标的实现，这些目标包括：个性发展、环境认识、社会参与、规则与价值观的传授.［65］
1.4.3.2 促进个性发展的数学课程
人们普遍认为，用数与形可以表达思想、感觉、问题及其解决方式，对数与形的利用也是人们的一般需求和技能.例如在学龄前孩子们就会学习数数、计算或者作图等实用性的技能，这些属于文化技术范畴，当然这些文化技术还有着其普通教育的价值.亨蒂希（H.von Hentig）建议学校数学课程要体现如下的教育价值：“从教育学角度看，这种文化技术对个人的作用远比它们在我们生活中的实用性和需求性要大.我们应该要意识到这点.如果我们进行合理教学的话，通过计算、书写和阅读，孩子将会获得自信，体验掌握和练习各种各样魔术般艺术的乐趣，会以各种基本方法训练至理解，学会区分重要与非重要，努力了解意义，设计自己的方式方法，拓展‘作图和惊奇’的感觉，那是一种成功的自我设计的学科.”［66］
数和计算、图形和构造属于数学领域，其数学意义体现在其规则性和各种规则论证的可能途径.从历史上看，在古希腊，作为科学的数学主要是发现数之间的相互关系，图形之间的相互关系，并论证这些被发现的关系.欧几里得在公元前300年在他的《几何原本》中创立了公理化体系，创立一种理性思维的方法.他定义概念，进行演绎证明.例如欧几里得先对一些基本概念给出定义：［67］
（1）点没有部分；
（2）线有长度，但没有宽度；
（3）线的界限是点；
（4）直线是同其中各点看齐的线；
（5）面只有长度和宽度；
（6）面的界限是线.
这是他为后人留下的巨大精神财富.
人们通过做数学会体验到自己思维的力量，因为他们会自己发现数学并加以研究，在此他们一方面体验这种思维的自由，另一方面也要经历思维的局限性.数学课程应该将学生引入这样的思维世界，让他们学会如何思维，同时也要引导他们批判性地反思自己的思维.关于学会思维，维滕贝格（A.I.Wittenberg）指出：“数学为我们体验自我的存在有两方面的贡献，不仅让我们经历特有的数学现实，而且同时让我们体验我们思维的内在需求，这种需求在于发现和探索其中的现实.”［68］通过数学教育，人们会获得数学思维能力，这些能力有助于加强人们的自我意识，也就是说，数学课程有助于学生的个性发展.
1.4.3.3 环境认识与数学课程
数学在改变世界，也在改造我们的生活.在多姿多彩的世界中，数学经常以特定的形式出现在我们身边.在日常生活环境下，人们经常喝牛奶，可以考察一下其包装盒；足球爱好者喜欢踢足球，可以观察足球的形状；可能大部分学生都拥有自己的书房，其中书桌一定是少不了的，就出现长方形、多边形和圆、立方体、圆锥体、圆柱体、球体等基本的几何图形.在此也出现图形之间的基本关系，如垂直和平行等.另外也可以计算面积和体积等.
在“娱乐环境”中，从1996年开始，在中国的电视屏幕上出现了“降水概率”的字样，“概率”这一词走进了寻常百姓的家庭.也是在电视上，跳水比赛，7位评委亮分之后，要去掉一个最高分，一个最低分.这是为什么？追根寻底，原来涉及“数理统计”的数据处理.
在“金融环境”下，市场经济是一个大课堂.利息、纳税、折扣、成本股票、期货等经济问题一股脑地呈现在人们面前.没有数学头脑，没有计算，将寸步难行.被称为“美国经济掌舵人”的前美国联邦储备局主席格林斯潘（A.Greenspan），在2001年4月6日的一个会议上呼吁加强金融基础教育.他提出，“提高中小学生的金融基础教育，将可达成金融扫盲，帮助年轻人避免作出盲目的财务决策……对复利计算的数学公式的基本理解，可以让人认识到长年定期储蓄带来的累积效果.”［69］近年来，我国的金融市场正在不断发展，从房屋按揭抵押贷款、大件商品分期付款开始，各种各样的借贷关系正在发生.在学校中开展金融数学教育，让学生熟悉金融市场中的数学关系，成为一项重要课题.
在数字电视时代，数字电视打破了模拟电视的垄断而成为当今电视的主流，其关键就在于有了基于各种数学原理的数据压缩技术.数字电视就是把电视画面上每点的亮度用一个二进制数来表示.彩色电视画面上的每点就用三个二进制（分别代表红、绿和蓝三种色彩的亮度）表示，然后可以使用计算机对这些数字信号进行各种处理.例如一个清晰的电视画面上有1 150条线，每条线上有近1 000个点，每个点要表明亮度和颜色，每秒要传60幅画面，此外还有声音伴送.这样，传送数字电视时，每秒至少要传一亿个字节的数据才行.而采用数学方法，可以把庞大的数字电视信号大大压缩，一般能压缩到只有原来的几十分之一，使之能在通信线路上方便地传输.
从数学史角度看，在解决实际问题中，数学也是无处不在，也需要计算价格和工资，需要确定长度、面积和体积，需要设计模具等.堪称中国古代第一部数学专著《九章算术》，尽管具体作者无从考证，但经历过历代数学家的增补修订，如西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理.据研究，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年）刘徽为《九章算术》所作的注本.《九章算术》采用问题集的形式，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题.全书共有246个问题，分为以下九章：
（1）方田：土地丈量中的面积计算.
（2）粟米：物品交换中的兑换比例.
（3）衰分：计工、税收中按等级、比例分配.
（4）少广：面积体积中开方、开立方.(www.xing528.com)
（5）商功：筑城、开渠等的土方计算.
（6）均输：按人口、路途的实物摊派与运输.
（7）盈不足：关于依某法“盈”依另法“不足”的数学模型.
（8）方程：线性方程组问题.
（9）勾股：利用勾股定理解决测量计算问题.
几何也诞生于诸多实际问题的需求.几何“Geomtrie”这个词本意为土地丈量.古埃及时期，由于尼罗河水泛滥，许多原来分割清晰的田地被淹没，等河水退去，人们无法辨认出自己的田地，因此埃及人发明了各种丈量方法，他们或者用所谓的卷尺，或者用枝条，或者用其他工具.
历史表明，为了驾驭生活，人们需要数学知识和技能.
除了日常生活的需求，数学还有助于人们获得对周边自然的认识，并且利用这些认识解决实际问题.数学和自然观察之间的相互关系在天文学和物理史上就已经出现.从中世纪末人们解决宗教信仰问题开始，出现大量的数学知识.数学被证明是获得知识的有力工具，应用这些知识有助于解决来自技术的许多实际问题；这些发展也丰富了数学本身.牛顿和莱布尼茨（G.W.Leibniz）是在古希腊的“穷竭法”“求抛物线弓形面积”等思想的启发下，焕发了新的科学活力.而牛顿通过“瞬间速度”问题发展了微积分的基本思想.牛顿概括前人的成果，完成微积分学创立的同时，把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具.“世界上的物体运动状态的改变，无非是力的作用：重力、热力、电力、原子核力等.这样，大到天体运行，小到电子旋转，微积分成为刻画运动的基本工具.数学对于人类的价值，由此可以想见.”［70］
在数学课程中应该而且能够传授关于如何用数学描述自然的事实，以及技术如何借助数学发现原理的事实.在多大程度上掌握这些知识，则有赖于人们今后与数学联系的广度与深度，也有赖于人们将数学应用各自生活的能力.通过数学教育让学生认识世界，这个目标不依赖于学校类型和在校时间长短而存在.
1.4.3.4 社会参与与数学课程
数学在人们社会生活中起着重要作用，人们可以用数学的各种不同表征方式在数学内部进行交流或者用数学交流，如可以用文字形式、书面符号、公式、模型、图像以及图表等形式，在交流过程中理解数学或者用数学去理解.
例如，我们这个时代会碰到不少应该在有限范围内保密的信息，包括公司、企业或者公民个人的数据、企划信息等，这些信息往往以特定的数学形式呈现出来，但人们不理解数学表征或无法解读这些信息，进而无法进行适当交流.其重要原因是因为他们不理解这一数学专业语言.许多数学事实是用公式来表达的，但至今仍有许多人不理解公式语言.因此在数学课程中，学生应该学习数学语言的知识基础，才能用数学进行交流或用数学表征进行交流.
数学是我们文化的主要组成部分.但是，这种观点在一般人看来难以置信，或者认为这只是一种夸张的说法.一般人认为，数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧，认为数学家喜欢沉湎于毫无意义的臆测；或者认为数学家是笨拙和毫无用处的梦想家.这些都会导致人们对这门学科的厌恶和对它的忽视.
鉴于此，数学课程教学的主要任务是向人们传达，数学也是一门需要创造性的学科.在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家利用高度的直觉和想象.例如，牛顿和开普勒（J.Kepler）就是极富于想象力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念.进行数学创造的最主要驱动力是对美的追求.数学的这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步.除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想象和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足.另外，当今存在大量数学知识，数学越来越成为科学与技术领域的认识工具和设计工具，数学是门不断繁荣的科学，是有力的工具.让年轻人拥有对数学的热情，参与数学交流和数学发展，则是当前数学教育的主要任务.
从学校教育现状看，有些人喜欢数学，而另一些人则对数学头疼，学校教育还是更为关注数学知识，而忽视数学能力.因此，学校数学课程需要鼓励学生发展潜能、发挥其学习优势；数学课程同时应该向学生传授行为规范以及价值观，才能成功地帮助学生发展.
1.4.3.5 规则与价值观的传授
与其他学科相比，数学在“对”或“错”的理由上是不含糊的，教授者和学习者遵循同样的规则，双方都有义务论证观点.但是在数学课程中也会碰到麻烦，在证明时要用到已经证明的，也即定理；或者用到关于真实的假设，也即公理.原则上，在应用时，不需要对已经证明的再追根求源，一般不会再追踪公理的源头.而法国数学家帕斯卡（B.Pascal）则认为，“没有什么定义是理所当然清晰的、而不需要任何的解释.”他给出了选择公理的规则，认为“选择公理时应该根据自己完全理解的经验”.［71］正如他强调的“宁可信其有，不可信其无”.这种依据公理的证据而产生的对数学安全性的意识一直持续到19世纪末.
1899年，希尔伯特（D.Hilbert）的代表作《几何基础》发表，它是公理化思想的代表作，把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构.希尔伯特明确指出，“完整的清晰”以及“理所当然”作为真实性的保证是不合适的，因为它更多涉及主观的、而不是明确的标准.［72］
数学教育的任务是，向学习者传授那种追求真理的态度，让他们学会反思对象，提出疑问，自主地探寻依据，展开自己的思维过程.在此，也要让他们意识到这类思维的局限性.传统上，在教育中把真理看作是一种价值，因此，寻找真理的数学教育有助于准则和价值的传授.
我们经常强调，数学认识是价值中立的，这意味着，关于数学结果是否对人有利或者有害的问题，不能由数学决定.但是在具体情境下，可以作出负责的决定.就连没有什么危险性的数数活动，也可能置人死地.曾经有报道称，研究者为了能够数出一个种类有多少动物构成，而将这个种类消灭了.这当然不在于数学，而是人们对数学的利用.但是在数学教育传授准则和价值时，就要讨论这些问题.
例如，只要结合合适的场景，也能让小学生明白其中的道理：一个孩子发现，一朵樱花由许多花瓣组成，他想知道共有多少片小花瓣.为了数数，这个孩子将花瓣一片片掰下，最后他知道共有几片小花瓣，但是这朵樱花被摧残死了.
结合这种行为准则以及价值态度的传授，教育达到了细心、精确、彻底以及有序的目的.在数学教育中，就是要以这种价值态度进行计算和构造，让学生学会按照特定的规则进行计算.研究者认为，教育学生精确思维的辅助手段就是数学，但如果数学仅仅是一套人为规则，那么就无法达到这个目标.在学会规则的同时，必须解释学习这些规则的理由，不做相应的解释，数学只能起到微乎其微的教育功能.
1.4.3.6 数学经验与数学课程
数学教育应该向年轻一代传授合理的关于数学的观点，这意味着，让学生在数学教学中有丰富的经历.维滕贝格指出，“在教学中，要让学生有效地接触数学，感受数学的影响，获得相关的财富；通过基本元素向他展示真正的这一科学经历.教学必须恰当地说明什么是真正的数学.”［73］根据不同内容以及接触数学的不同方式，可以让学生在教学中获得可靠的数学经验.也就是说，不能仅仅为了考试而花大量的时间在数学训练上，这会导致人们忽略深入理解基本概念及其特征.一种传授可靠的数学经验的教学，被称为真实的教学.数学课程与教学要做到真实，教师对此要担当起责任.
真实的数学教学，要让年轻人经历到，数学是如何产生的，要让他们意识到通过数学能获得说服力和知识，向他们呈现，如何应用已发现的数学.
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