上海建平实验中学：对话教育成果展示

万兆云

多年前，网上的一道应聘试题引起了我的注意。我马上意识到这是一道可以打开学生思维的好题，于是我尝试着跟学生一起探究。我最初是想通过这道题培养学生一题多解的意识，但经过多次与同学的交流与讨论后，我发现不仅学生的数学思维得到了提升，就连我的思路也慢慢被打开了。在整个探究的过程中，我对这道题的理解思路发生了很大的转变，甚至可以说它已经改变了我的教学观念。下面我来介绍这道题及其探究过程：

现有一台天平、一个2克的砝码和一个特制的7克的砝码，要求只能使用这台天平三次，要将一包重140克的食盐分成90克和50克。为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数克。请设计至少2种不同的方案。

一、与问题对话

一天数学课我对学生说，老师真有道“网红题”，大家要不要试试？一听“网红”两个字，学生们来了兴致，纷纷表示愿意尝试。于是，我就把这道题写在了黑板上，让大家自己探索，有解法可以跟大家分享。在看到大多数同学面露难色之后，我对同学们就这道题进行了点拨，告诉他们：重点考虑如何使用天平和砝码，能将一定重量的盐分割成整数重量，最终明确使用天平和砝码可将指定重量的盐分为2份，且它们的重量之差仅限于：0，2，5，7，9（克），7+2=9，7-2=5，即重量差的产生主要是由两个砝码的不同放置产生的。并提示重点使用“二元一次方程组”相关知识作为主要的数学工具。

例如使用天平可将N克盐分为重量分别是x克和y克两份。并可得以下数学模型：

经过点拨之后，学生领悟了这道题的“精髓”，第一次使用天平时可以将140克盐分离成2包都是70克，或者通过放置一个2克砝码，就能得到一包是71克另一包是69克的盐。然后反复以上分离模型，大家得到了以下5种解决方案（图表示意）：

虽然在老师的引导下学生已经得出了五种方法，但是却止步于这五种最基本的解答方法中。我想要再将学生的思维引向深处，却无从下手。如何能突破学生的思维限制，让他们将这道题发挥得更好呢？我陷入了深思。

二、和同学对话

我主管教学，有更多听课的机会，有一次听一节语文课，老师让学生大胆地交流，并采取合作学习的方式对课文进行学习理解，让我惊奇的是一群七年级的学生居然语出惊人。课后，我与这位老师交流如何才能调动学生的思维，他告诉我要了解学生的需求，同时也要广泛地发动学生，给他们交流的时间和机会。他的话给了我启发，于是我开始跟学生对话交流，希望能找到进一步引导的路径。我发现运用以上数学模型进行求解时，多数学生虽然可以理解，但因模型的计算烦琐而使一些动作稍慢的学生（例如演算能力较弱的同学）失去对此题继续探究的兴趣。通过与学生的广泛对话，我从中发现学生找到了一些在我看来并不“严密”但颇具“灵感”的解决方案。例如对如图的模型进行探究，虽然没有得到希望中符合题目的方案，但通过探究，师生之间对此题的理解更深了一步，并对解决此题有了更大的渴望。

由于减少了对学生解题思维的束缚，加强了同学间的合作交流，给足了思考和讨论的时间，学生对此题所表现出的浓厚兴趣令我惊讶，令我激动。在教学中出现了一些非常有创意、颇具灵气的新方案。而发现这些新方案的学生平时数学成绩并不突出，但都具有较强的独立思考能力。我决定和同学们一起对出现的新方案进行归纳总结，并将其转化到以前的数学模型中。

我们发现那些新方案的突破口其实是巧妙地将已称量出的盐当作“新的砝码”来使用，正是因为学生对题目本身的理解更进了一步，所以他们突破了先前的“经典”束缚。师生共同探究，对新方案的创意举一反三，并充分利用“新的砝码”这一理念，将新方案按照先前的图示来进行表示：

以上这些我未曾想到的解决方案，使我意识到我当初只是用了一种比较常规的数学方法去解决问题，仅是解决问题的一个类型，而且在这类型中解不是唯一的。其实我只是把这道题以完成习题的方式进行了简单诠释，以前自己“强加”给学生的看似完美的数学模型大有扼杀学生创造力的嫌疑。这正是当下学生即使通过“题海战术”成了解题高手，但解决问题的能力仍不尽如人意的重要根源。通过学生间合作交流，扩大了对话面，学生的思路打开了，随之而来的是这些出乎意料的新奇的解法，我为之震撼的同时也意识到，这道题还可以继续探究下去。(www.xing528.com)

三、与实践对话

数学本是来于生活的一门学科，它最终的指向是解决生活中遇到的问题。此时，我总结了先前的教学经验，索性尽量让学生在没有任何思想束缚的前提下去大胆思考，我到实验室找来天平和砝码让学生动手实验，与实践对话。于是，学生给了我惊喜，意料之外的解又出现了！学生将已经称出重量的2包盐重新合在一起，重新进行称量，并就此诞生了新的解答。

按照先前的图示来进行表示：

直至今日，我和我的学生们对这道题的解决方案进行了以上的归纳总结，但我相信它的解应该还不止以上这些。没有终点的探索，打开了学生思考的大门，让我感动。

四、反思

经过“与问题对话”“与同学对话”“与实践对话”三个阶段的探索，我发现当学生和老师眼中只有问题的时候，我们的目标虽然是明确的，但是由于没有更广泛的“对话”，所以学生的思维被限制在老师的引导中。当我知道题目的正确答案后，往往会从主观上不由自主地去影响或暗示学生向“答案”迅速靠拢。这样的教学固然很有“成效”，但其实对于培养学生能力来讲，教师的能力越强反而导致学生的能力考核成绩越弱！原因是因为我们好心地剥夺了学生探究问题时犯错的机会，而这些学生所犯的错是学生成长过程中应该值得去经历的，而这正是我现在教学中所缺少的“微量元素”。

只有充分地相信学生，让学生与学生间充分地对话交流，才可以突破个体思维的限制，让智慧的火花在彼此的碰撞中创造出新的认知。这一点突破了我对以往教学的认识，让我受益匪浅。当然我们的数学课不应该仅仅限于抽象的思考，也要向实践靠拢，通过动手实验，给学生提供学生与现实对话的机会。让他们在动手操作中解放自己的思想，提升自己的认识和能力，这才是理想中的数学教学。

直至今日，我和我的学生们对这道题的解决方案进行了以上的归纳总结，但我相信它的解应该还不止以上这些。没有终点的探索，打开了学生思考的大门，让我感动。

四、反思

经过“与问题对话”“与同学对话”“与实践对话”三个阶段的探索，我发现当学生和老师眼中只有问题的时候，我们的目标虽然是明确的，但是由于没有更广泛的“对话”，所以学生的思维被限制在老师的引导中。当我知道题目的正确答案后，往往会从主观上不由自主地去影响或暗示学生向“答案”迅速靠拢。这样的教学固然很有“成效”，但其实对于培养学生能力来讲，教师的能力越强反而导致学生的能力考核成绩越弱！原因是因为我们好心地剥夺了学生探究问题时犯错的机会，而这些学生所犯的错是学生成长过程中应该值得去经历的，而这正是我现在教学中所缺少的“微量元素”。

只有充分地相信学生，让学生与学生间充分地对话交流，才可以突破个体思维的限制，让智慧的火花在彼此的碰撞中创造出新的认知。这一点突破了我对以往教学的认识，让我受益匪浅。当然我们的数学课不应该仅仅限于抽象的思考，也要向实践靠拢，通过动手实验，给学生提供学生与现实对话的机会。让他们在动手操作中解放自己的思想，提升自己的认识和能力，这才是理想中的数学教学。