初中数学教学设计：制作最大无盖长方体案例

（一）教学内容分析

本课题学习的主题是如何利用已给的正方形纸片去制成一个尽可能大的无盖长方体。教学内容更多体现出一种载体的作用——用以培养动手能力，突出自主探索和合作交流，感悟解决数学问题的不同策略和方法。

本课时从同学们熟悉的折纸活动开始，进而通过操作、抽象和交流，形成问题的代数表达；再通过收集有关数据，推断容积变化与边长变化之间的联系；最终通过交流与验证等活动获得问题的解，并对于求解的过程做出反思。其教学功能主要有两个方面：一是进一步丰富学生的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，加深对空间和函数等相关知识的理解；二是培养学生针对不同题目采取有效解题策略，发展解决问题的能力。从知识的相关性来说，它是对本册各部分知识的综合实践和应用，能够很好地帮助学生从中体会数学的应用价值，提高学生用数学的意识，发展其思维能力。

（二）学情分析

1.学生的年龄特点和认知特点

（1）七年级的孩子正处于少年期，自我及自我发展的意识越来越强，对生存的环境、对社会性问题越来越关注，对与自己的直观经验相冲突的事和有挑战性的任务很感兴趣。当自己的意见和集体意见不一致时，急于想证明自己。如苏霍姆林斯基所言“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者和探索者”，在十四五岁学生的世界里，这种需要尤其强烈。

（2）基于校内外生活的经验，学生能够通过各种活动将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此发展对数学的理解。学生身心发展的这一特点和数学抽象性特征共同决定了学生数学学习基本是一种符号化语言与生活实际相结合的学习，两者之间的相互融合与转化，成为学生主动建构的重要途径。

2.学习者已有的准备

学生在前面的学习过程中经历展开与折叠、模型制作等活动，积累了一定的数学活动经验，在操作活动中认识了长方体的某些特性，会求代数式的值，会利用代数式求值推断代数式所反映的规律，能解释代数式的实际意义。经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，会用代数式表示简单问题中的数量关系，建立初步的符号感、抽象思维能力以及空间观念。对本课题的研究需要学生综合图形的展开与折叠、字母表示数以及利用代数式的值去推断代数式所反映的规律等方面的知识和方法。

（三）教学目标及其对应的课程标准

1.知识目标

让学生经历试验、想象、分析、猜测、交流、推理等过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感。

2.能力目标

培养动手能力，提高综合运用知识解决问题的能力，发展学生的推理能力，加强运用数学的意识，养成自主探索、合作学习、自我反思良好习惯，获得一些研究问题的方法策略和经验。

3.情感目标

（1）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

（2）在合作中学会与人沟通，提高学习的参与意识。

（四）教学设计思路

本节课以综合应用教学为主，根据上面对教学内容和学生情况的分析，在教学中遵循以学生为主体，让学生经历试验、想象、分析、猜测、交流、推理和反思等过程。具体而言，在本课的教学过程中，主要采用两个设计层次，体现一个小的螺旋上升的过程，每个层次大致程序为采集信息、整理信息、分析与筛选、得出结论、引发思考、提出建议。让学生经历试验、想象、分析、猜测、交流、推理等过程，从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用，在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感，在巩固基础的同时提高综合运用知识解决问题的能力。七年级学生自我发展的意识强，对有挑战性的任务兴趣浓厚，有强烈证实自己思想的欲望，因此没有将课题分解成一个一个的小问题，去限制学生的思维，而是采取短周期作业与课上的汇报、展示、交流相结合，给学生提供充分的探索和合作的空间，让他们自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题，在学习过程中不断获得成功体验，提升自信，通过反思重塑自我。在交流合作过程中，发展与人沟通交流的能力，感悟数学来源于生活，服务于生活的实际价值，自然而然地提高运用数学的意识。在与同学的沟通交流中，在教师的指导下，每个学生都能得到不同程度的发展，这也充分体现了课程标准中人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展的理念。

1.学法指导

培养学生从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的能力，感悟数学函数建模思想方法，体会探究性问题的研究方式：采集信息、整理信息、分析与筛选、得出结论、引发思考、提出建议，养成与人合作的良好品质，养成“勤动脑、勤动手、勤动口、勤反思”的好习惯。

2.教学重点

（1）综合本学期所学的数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式获得对相关知识与方法的深入理解，体会各部分内容之间的联系。

（2）初步感受探究性学习的方法与过程。

3.教学难点

（1）从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的能力。

（2）丰富空间观念，体会函数思想。

4.教学关键

“猜测”“动手操作”“反思”“在实践与综合应用中鼓励用多种方法解决问题”成为组织本课题学习的关键。

（五）教学媒体和课前准备

（1）本课题实施周期为一周。分为课上和课下两部分，课上部分为两个课时，在整个过程中，将学生分成6人小组，每组包括2个A、B、C等级的学生，每个组之间既有竞争又有合作。

（2）学生利用Powerpoint制作课件展示成果。通过用计算机显示“所剪小正方形边长变化”所引起的各种变化，以帮助学生验证自己的结论，发现更多的可以探索的现象。

（六）教学过程

1.第一课时

第一环节：创设情境，提出问题。

“用一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖的长方体？”(www.xing528.com)

设计意图：课程标准中要求要培养学生的空间观念，在学生展开合作探究之前，先引导学生思考与想象问题的答案，再通过他们的实际操作去辅助思考或验证思考的结果，鼓励多样化的解决方案。计算机显示“所剪小正方形边长变化”所引起的各种变化，以帮助学生验证自己的结论，发现更多的可以探索的现象。

第二环节：自主探究，合作学习。

提前一周布置第一组课题：

（1）如何用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是什么？

（2）如果设这张正方形的纸边长为a，所折无盖长方体的高为h，应怎样计算无盖长方体的体积？

（3）随着剪去的小正方形的边长h的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？怎样才能直观而形象地表达这种变化？

设计意图：七年级的学生有强烈的探究和发现的欲望，根据这个特点，教师不是在课堂上急于求成，而是注重充分利用课题学习的优势，给学生充分的时间，让学生在合作中学习，在第一组课题2～3天的合作学习中，教师要深入学生的合作小组中，鼓励学生提出问题，同学间批判性地倾听与思考，勇于尝试多样化的解决方案。

第三环节：交流与反馈。

进行第一课时的汇报交流和学生发言过程中，教师应避免每次都对发言做出评论，而要多给学生一些机会，教师起到主持引导的作用，学生可回答教师的第一组课题中的问题，更可以针对课题发表困惑，还可以学生间互相提问、互相解答，对于极具潜力的想法教师应大力支持表扬。

设计意图：真理不辩不明，给学生搭建一个自我展示的平台，充分发掘学生的潜能，在学生的交流讨论、互相提问解答过程中明晰探究的方法，纠正自我的偏差，通过教师的肯定和鼓励，同学们获得对正确的探究方法、探究方向更明确的感受。

2.第二课时

第一环节：自主探究，合作学习。

在第一课时结束时，教师将给出第二组探究问题和建议：

用边长为20cm的正方形纸片，你能制做出尽可能大的无盖长方体吗？

对以上问题的探究，你有什么猜想？有办法验证自己的猜想吗？

设计意图：先引导学生对“无盖的长方体容积变化与边长变化之间的关系”进行猜测——无论通过对代数式的观察，还是对统计图表的分析，在小组合作学习的互动中、在实际的运算及验证中积累直接经验，学会对事件进行质疑，经常引导学生反思自己的活动过程，积累活动经验，在教师的帮助下进行观念的重建。

第二环节：展示交流，形成报告。

在第二课时上课前，教师应收起学生的课题报告，做到通篇阅读，心中有数，并给部分同学恰当而有分寸的引导，适当安排发言次序，使同学们的结论由易到难地出现在课堂展示中，强调学生对不同的实验结果的比较和概括，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足，帮助同学们把在充分的自主探究、合作交流中的方法认识上的提高落到实处。

在学生接下来两三天的探究中，教师应注意以下几点：

（1）鼓励学生表达自己对问题的见解，并从同学那里获得反馈评价。

（2）提醒他们关注信息和证据，从证据中获得合理结论，不要忽视前面做过的工作而牵强地下结论。

（3）试着把确认了的结论、方法运用到新的相似的情境的探究中去。

（4）避免向学生提供明确答案，以告知来解释怎样解决问题。

设计意图：给学生充分自由探索的空间和时间，在教师引导和点拨下，学生能独立自主地探索交流、收集信息、分析数据、论证结论，在探索中提高发展解决实际问题的能力，进行不断自我调整。

第三环节：形成结论，实际应用。

在此基础上学生再带着问题走出课堂，把得到的结论应用到生活中。

在实际生活中用一张正方形的纸板制一个无盖的长方体粉笔盒，要装的粉笔多一些，如何制成？

根据以往经验，有不少同学在进行第二轮自主探究时，往往到当a=0，h=3，可得v=588就停止不前了。对此，首先在第一课时前的探究中，要激发学生关于“小正方形的边长非得是整数吗？是小数会怎样？”的猜想，这样，一方面迁移这种猜想；另一方面要学会根据第一课时的成果进行反思。

教学反思：

（1）《课程标准解读》一书中写到“发展学生的数学应用能力，不仅包括计算、推理、空间想象，还应包括辩明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献，能进行口头和书面分析与交流”。一个课题学习仅依靠课堂上两个45 min是不够的。本课题学习的模式可以给学生足够的活动时间、宽松的探究环境和充分的交流机会，让学生在实际体验中把握将实际问题抽象为数学问题的建构过程，对一些数的规律有初步体验，同时了解严密思考和逻辑论断的重要性，树立学好数学的信心。共同完成一个课题的过程也是孩子们一起成长的过程。

（2）在第一课时的展示交流中，学生给出了两种不同于书上的折法。第一种是先将正方形折成筒状，然后在撕出一个底；第二种是学生用了拼补法，即“如果减去的纸越小，折出的体积可能越大，所以我将剪去的纸再贴上，然后折叠……”。教师在课上及时抓住学生的问题，鼓励他们沿着自己的方法验证自己的结论，事实表明，如果允许粘贴的话，上面的第二种方法折出的长方体体积最大：v=（5×10）×5=750。这个插曲使我们感到，在课堂上，教师不再只是知识的传授者，更是知识的学习者和受教育者，教师和学生在新课程的探索和实践中是共同成长的。

[1]关雯.“课题学习”的组织与实施［J］.西北成人教育学报，2006（1）：64-66.

[2]张思明，白永潇.数学课题学习的实践与探索［M］.北京：高等教育出版社，2004.

[3]马复.义务教育课程标准实验教科书（数学9上）［M］.北京：北京师范大学出版社，2006.

[4]张思明，白永潇.数学课题学习的实践与探索［M］.北京：高等教育出版社，2004.