代数语言与符号在初中数学教学的作用

历史上，代数正式成为一个知识体系大约是在16世纪中叶，对此最为重要的贡献者是法国数学家韦达。而代数区别于算术的第一个标志就是使用了一套符号体系：用于表示一般意义量的符号（字母）：A（a），B（b），C（c）……和表示各种运算的符号。

自觉、系统地使用符号给我们带来了什么？理解它们无疑有益于我们明确代数教学的重心和基本路径。事实上，符号的引入，可以使得数学研究对象上升到一般抽象物。

在引入系统的符号之前，数学研究更多地指向具体的数，所有的结果（包括解一元二次方程的方法）都仅仅以若干具体实例呈现，尽管这些实例已经在某种意义上表现出一般的特征。引入符号以后，“代数就成为研究一般形式和方程的学问”[1]。

例如，在正式引入符号系统之前，人们已经能够求解许多一元二次方程，但是对结果的表达都是求解诸如x2=5x+3，x2+3x-2=0（今天的记法）这样一些具体的方程。而引入代数符号以后，人们就开始表达对于诸如ax2+bx+c=0形式的方程的解。更重要的是，从此，人们可以关注对适用于一般方程的“解法”本身的研究。

事实上，数学的抽象性首先依赖于有了一套可以表达一般抽象物的符号。

例如，如果仅仅使用算术符号，我们或许可以回答：最长边为100的整边三角形（即边长为整数的三角形）一共有多少个；但是，如果我们借助代数符号，就可以研究“一般地，最长边为A（整数）的整边三角形一共有多少个”。

类似地，如图2-1所示，显示了一个较为复杂的一元二次函数和一元一次函数图像的位置关系，那么，如果不使用代数符号，我们就只能研究：按照这样的关系，在x=100、x=1000的时候，两个图像之间的某种具体关系等，但如果我们希望知道对于任意的x而言，两个图像之间的某种具体关系就必须使用代数符号。

图2-1　一元二次函数和一元一次函数图像的位置关系

具体说来，代数语言的有效使用，给人类文明带来了以下诸多进步。

（一）使我们的思维更开阔

在有意识地使用符号体系之前，人们对数学思维对象、思维结果，甚至思维过程的表述都使用自然语言，这样的表述方式一方面显得复杂；另一方面也常常容易产生误解。更重要的是，以这种复杂的语言方式作为载体的思维负担太重，以至于人们无法深入进行思维——思维步骤不能多，思维对象的个数也不能多。事实上，没有一套行之有效的代数符号体系，人们无法想象微积分这一数学核心内容能够顺利地产生、发展。

（二）使我们更深入地理解数学对象

代数符号所代表的是一般现象，因此，许多具有普遍意义的内容（规律、方法等）都可以借助代数符号表示。下面从案例中来深刻体会代数符号对理解数学对象的重要意义。

老王开车从A到D，全程共72km。其中AB段为平地（图2-2），车速是30km／h；BC段为上山路，车速是22.5km／h，CD段为下山路，车速是36 km／h。已知下山路是上山路的2倍，试问老王开车从A到D共需要多少时间？

分析：因AB段路程与BC、CD段路程没有确定的关系，似乎缺少一个条件，问题可解吗？

图2-2　从A到D全程

解：选择几个特殊值试一试，发现结果竟然确定并且都是2.4，得出猜想为结果与AB段路程长短无关，总是需要2.4h。但这个猜想需要确认。要解决这个问题可借助代数符号，即设立字母表示问题中的有关量（AB=x，BC=d，CD=2d）。

列式求解：(www.xing528.com)

总时间为：而且x+d+2d=72。

代入后：

结论一：老王开车从A到D总是需要2.4h，不管AB、BC、CD的值是多少，只要满足CD=2BC。

进一步思考：

其中的已知量不可以改变吗？有没有更一般的结论？

使用字母表示未知量，对未知量进行运算，并且观察运算过程，就可以发现更一般性结论。

事实上，上述求解过程表明：结论之所以与x、d的值无关，是因为x、d在运算过程中被消去了。换言之，在现有的已知条件下，取任何的x、d值，结论都相同。那么，什么因素是决定该问题结论的实质性条件？不可能只能是30、60、22.5、72这样的特定数值，但也不是换任意的数值都行。满足什么条件的数值可以呢？

要解决这个问题，还是借助代数符号来重新表述问题，按照题目中的已知条件，可以设平路行驶速度为5v，那么上山、下山的速度就分别是6v，而AD=12v。

代入后：而且x+d+2d=12v。

解得：T=2.4。

于是，我们有以下更一般的结论。

结论二：老王开车从A到D，全程共12akm。其中AB段为平地，车速是5akm／h；BC段为上山路，车速是km／h；CD段为下山路，车速是6a km／h。已知下山路路程是上山路的2倍，那么，老王开车从A到D总是需要2.4小时。

其中，a=6就是原题，换其他的a值可以得到其他的问题。

从结论二中可以看到：既然a可以取任意正值，那么，从理论上来看，2.4这个结论的适合范围就太大了——AD可以是任意长路程，2.4又是从哪里来的呢？它很神秘吗？显然不是的。只要将全程路长改为一般的AD就可以了，借助运算，我们发现：

结论三：在满足CD=2BC的前提下，

当然，若BC段和CD段的路程仍然是1∶2，取AB段的速度为v，BC 段的速度为v，CD段的速度为3v，AD全长为mv，我们还可以得到其他的结果。事实上，问题还可以做变化：BC段和CD段的路程不是1∶2，改为其他，则又能够得到另外的结论。不过，对于使用代数符号讨论而言，这样的问题已经没有实质性新意了。

由此可见，如果仅仅使用算术的语言、符号，我们常常无法获得隐藏在若干具体数值背后的一般规律，而借助代数符号（包括对符号的运算），我们就能够洞察其中的一般规律。