指数与对数在科学研究原理中的应用

正如我们看到的，世界上不是所有的事物都呈直线的线性关系。为不同的系统建模，科学家需要使用不同的数据图和表格来呈现不同的函数方程。在本节余下的篇幅，我们将讨论这些非线性的函数方程形式。

科学研究中一个常见的函数叫做指数（exponent）。伦敦的霍乱传染病是由微生物（细菌）引起的。在传染病流行期间，一块婴儿尿布上的微生物夺去了500人的生命。这是如何发生的？

霍乱由一种叫做霍乱弧菌的细菌引起。和大多数细菌一样，霍乱弧菌通过自身分裂繁殖。

当一个细菌分裂后，分裂成的两半长到和原来的细菌一样大后继续分裂（一旦分裂成两半后的细菌长成原来细菌的大小，它们成为成年细菌，就可以繁殖了）。第一次分裂和第二次分裂的间隔时间叫做繁殖周期（reproduction cycle）。

不管一开始有多少细菌，如果细菌通过分裂变成两半进行繁殖，每经历一个繁殖周期，细菌数量就会翻倍。细菌样本中的单个细菌，并不是同时进行分裂的，但是如果你在每个繁殖周期数一次细菌，你会发现数量是上次的两倍。不同的菌种繁殖速度不同，所以繁殖周期的实际长度取决于菌种。

为了简化，让我们把繁殖周期作为我们的时间单位，而不是具体的分钟或小时。让我们规定细菌繁殖所需的时间——即它经历完整的繁殖周期所需时间为t。如果在t=0时有一个细菌，在1t时，就会有两个细菌。在2t时，就会有四个细菌，3t时，就会有八个细菌，以此类推（见图6.15和表6.6）。

图6.15　繁殖周期的表示

表6.6　细菌生长数据

如果我们要绘制霍乱弧菌数量和时间的图，那张图将向上倾斜，就像流量研究的斜率。然而，与流量研究不同的是，这张图看上去像y=2x，或者更确切地说，细菌=2自变量。自变量在这个方程中作为指数出现（见图6.16）。

图6.16　来自表6.6的细菌数据图

在图6.16中底数（base）是2，指数的一般方程是y=bx（或者y=bx+c，c是常数）。基数b在指数函数（exponential function）中可以是任何正数。例如，如果细菌分裂是一分为三，上面的图将看上去像y=3x；如果细菌分裂是一分为四，上面的图将看上去像y=4x，以此类推。然而，在所有这些情况下，y的值，即我们表示的细菌数（或者其他东西的数值）会迅速增长。

在作图时，有时候y值增长得太快，不能在x-y图上合适地表现出来。我们怎样标绘这些巨大的数字呢？我们可以使用对数（logarithms）描述它们。(www.xing528.com)

5.3.1　对数图

与指数函数相反的函数被称为对数函数（logarithmic function）。更具体而言，一个数的对数是将底数变成这个数运算过程中涉及的指数。在方程y=bx中，x是b的指数，x还是y对于底数b的对数。我们可以用对数函数来表示指数关系和其他函数。

5.3.2　底数10和e

虽然指数函数可以用任何底数表示，但在指数函数和对数函数中，科学家更广泛使用的两个底数是10和e。

什么是e？e是约等于2.718281828459的数。就像π，e的使用是为了简化计算。特别是，用于计算双曲线图像中的相关面积，以及用数学方式处理渐进（与限制行为相关）函数。e的命名是为了纪念数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），有时也被称作欧拉数（Euler’s number）。

一个数以10为底数（记作log10）的对数是这个数（我们称之为y）的指数（我们称之为x），即如果y =10x，那么log10y=x。

虽然对数有可能以其他数作底数，但当科学家讨论对数时，他们几乎都在讨论以10为底数的对数。

一个数（我们称之为y）的自然对数（记作ln，有时读作lon）是将e作为底数的指数（我们称之为x）值，即如果y=ex，lny=x。

当科学家在讨论自然对数时，他们讨论的是以e为底数的对数。

5.3.3　使用对数作图

对数的第一个优势在于让科学家展现不能用普通的x-y图表达的数据。

对数的第二个优势是帮助科学家简化数学过程。指数运算时，不用把两数相乘，而只需将对数相加。例如，10×100也可以这么做：log1010+log10100=1+2=3，然后算出（或查出）103=1000。对于10次方，这个优势可能不明显，但是当牵涉到电子的质量或真空中光的速度等问题时，这可以减少很多计算过程，从而节省纸张的使用。

对数的第三个连18世纪的欧拉都没想到的优势是，人类的感知常常建立在对数层面上。贝尔［以电话发明者亚历山大·格拉汉姆·贝尔（Alexander Graham Bell）的名字命名］是压力波强度的测量单位。当贝尔被用来讨论声波时，按1/10比例缩放，称为分贝（简称dB）。人类能听到的最微弱的声音被定义为0分贝，它的压力强度是1×10-12，也就是我们函数的平移量。表6.7列出了分贝强度的一些例子。

表6.7　分贝强度的例子