满射函数与科学研究原理

当我们在绘制柱状图或饼图时，又或者我们在绘制科学测量图（我们将在下面说明）或者直方图时（我们将在本章后面讨论），我们绘制的都是数学函数图。

什么是函数？函数（functions，常常略写成“f”）是两个或多个变量间的关系。在科学研究中，这些变量通常是实验中的自变量和因变量。这些变量（常常称作“x”和“y”）间的关系被描述成“y是x的一个函数”或者更常见一点，“y等于x的函数”，记作：y=f（x）。

变量x和y究竟是什么关系？可能代表不同的含义。例如，f（x）可能是x2，这就给了我们y=x2的图像，或者f（x）可能是x+15，这就给了我们y=x+15的图像。不管x和y关系怎样，当我们以数学方式表达科学数据时，我们都常常需要绘制它们的函数图。

在上一节，我们讨论了楼梯使用问题的基本解决方案，同时也包括了一个有趣的假设：每个学生会且仅会使用一部楼梯（你能想出一些不同的可能性吗？），这个假定有时并不准确，但是它是数学学科的一个基本模块，叫做“集合论”（set theory），是研究函数最重要的理论。

在一个等式中，如果对于每个x值，有且仅有一个y值与之对应，那么这个等式是一个一般函数。

注意，这并不是说反之亦然：有许多函数，包括上述楼梯例子中的“楼梯使用率”的函数，相同的y值（“楼梯使用”）可能由许多不同的x值（“学生”）引起。

函数种类

有许多不同的表述来描述函数f（x）=y，其中常见的有：

一般函数（general function）：对于每个x，有且仅有一个y与之对应。一般函数不能一对多（即一个x值不能对应超过一个的y值），但可以多对一（即超过一个x值可以对应相同的y值）。(www.xing528.com)

如果“x”是“学生”而y是“班级”，每个学生有一个班级，同一个班级可以有超过一个学生，但是一个学生只能属于一个班级。

单射函数（injective function）：对于每个x，有且仅有一个y与之对应，并且对于每个y，最多只有一个x与之对应，并且还可能没有x与之对应。单射函数不能一对多，也不能多对一。单射函数也被叫做“一对一函数”。

如果“x”是“学生”而“y”是“锁柜”。每个学生有一个锁柜，一个学生可以使用一个锁柜，但是不一定每个锁柜都会被学生使用。

满射函数（surjective Function）：对于每个x，有且仅有一个y与之对应，并且对于每个y，至少有一个x与之对应（所有的y都有与之相对应的x存在）。满射函数不能一对多，但是可以多对一。

如果“x”是“学生”而“y”是“自行车”，每个学生都有一辆自行车，有时学生可以借或共用自行车去上学，但是没有自行车会自己骑到学校。

双射函数（bijective Function）：双射函数既是单射的，又是满射的。对于每个x，有且仅有一个y与之对应。对于每个y，有且仅有一个x与之对应。

如果“x”是“学生”而“y”是“学号”，每个学生有一个学号，没有学生分享一个学号，每个学号必须对应一个特定学生。

在下一部分，我们将讨论许多不同种类的函数，及如何使用它们表示数据和数据集。通过对x，y以及函数f（x）中要素的定义，我们能创建科学数据的可视模型和数学模型。这些模型将帮助我们回答科学问题，比如哪种药更安全有效，或者空气污染怎样影响城市里树木的生长，或者学校放假期间最好给哪段楼梯刷漆。