金融风险度量研究中的检验统计量及p值

Copula拟合优度检验的主要思路为：首先，由原始样本数据得到其所属Copula族的参数估计值；其次，给出原始数据的经验Copula函数与估计出的Copula函数之间的某种距离定义，并将该距离作为拟合优度检验的统计量；最后，计算检验统计量的值及其对应的p值，并根据该值对拟合的优度进行检验。

上述过程包含以下几个步骤：（1）由原始样本数据估计出其所属Copula族的参数值。该步骤即为上一节中给出的对Copula参数的估计，且对各Copula参数进行估计的不同方法及结果已经在上一节中给出；（2）将估计出的Copula函数与由原始样本数据得到的经验Copula函数代入到检验统计量中进行计算，并由检验统计量的值计算其对应的p值。对Copula的拟合优度进行检验的统计量有很多，下面将会对其中主要的几种检验统计量进行介绍。

设X1=（X11，X12，…，X1d），…，Xn=（Xn1，Xn2，…，Xnd）为原始样本数据，表示由原始样本数据得到的新的样本数据，其中，，，表示Xij在X1j，…，Xnj中的等级。令

其中，u=（u1，u2，…，ud）∈［0，1］d，

设由U1，U2，…，Un得到的Copula参数θ的估计值为θn，定义经验过程

其中，表示参数为θn的Copula函数，也即通过原始数据估计得到的Copula。在该经验过程的基础上，得到Copula拟合优度检验的统计量有基于等级排列的Cram′｛e｝r-von Mises和Kolmogorov-Smirnov统计量，即(www.xing528.com)

除了上面两种检验统计量以外，还有与上述统计量类似的以基于Kendall转换思想的经验过程为被积函数的Cramer-von Mises和Kolmogorov-Smirnov统计量，以及与上述两种检验统计量类似的其他检验统计量，这里就不一一介绍。本节对Copula的拟合优度进行检验的过程中，使用的是基于等级排列的Cramer-von Mises统计量，即（6.5.2）式中给出的Sn。

在拟合优度检验的过程中，除了要计算检验统计量的值，还要计算检验统计量对应的p值。检验统计量Sn对应的p值定义如下：

其中，是以Copula函数通过模拟得到的第k个样本数据，…，（其中，k∈｛1，2，…，N｝）为新的样本数据，根据式（6.5.2）得到的模拟样本数据的检验统计量的值。Sn是由原始样本数据按照上面的计算方法得到的检验统计量的值。在p值的计算过程中，需要用到Bootstrap法，也即自助抽样法。

Bootstrap方法主要包括参数Bootstrap和非参数Bootstrap，其中参数Bootstrap是在对样本数据所属的分布进行假设的前提下进行的，而非参数Bootstrap则不需要对样本数据所属的分布进行假设。这里主要利用的是参数Bootstrap方法。下面给出根据样本数据计算检验统计量Sn以及利用参数Bootstrap法对p值进行计算的算法和步骤。