混业经营金融风险度量与阈值参数估计

上一章节得到内部欺诈损失强度Xi和外部欺诈损失强度Yj的分布函数F1（x）和G1（y）的近似表达式分别如下：

其中，ξ1，β1和ξ2，β2分别是内部欺诈损失强度Xi和外部欺诈损失强度Yj对应的广义Pareto分布的参数。对上述分布函数中的参数进行估计时，首先要根据每种损失样本数据分别对POT模型中的阈值u1和u2进行选择。由6.2节中的内容可知，对阈值进行选择的方法有Hill图估计法和超阈值期望图估计法。这里将两种方法相结合，首先分别得到内部欺诈损失样本数据和外部欺诈损失样本数据的Hill图以及超阈值期望图，再根据两种图像对应的阈值选择方法得到阈值u1和u2的值。图6-5和6-6分别为内部欺诈损失样本数据和外部欺诈损失样本数据的Hill图。

图6-5　内部欺诈损失的Hill图

图6-6　内部欺诈损失的Hill图

此外，图6-3和图6-4即为内部欺诈损失强度和外部欺诈损失强度的超阈值期望图。根据图6-3和图6-5选择5000万作为内部欺诈损失的阈值，即u1=5000。根据图6-4和图6-6选择1000万作为外欺诈损失的阈值，即u2=1000。

在得到内外部欺诈损失强度分布中GPD对应的阈值之后，利用极大似然估计法对内部欺诈和外部欺诈损失强度分布中的个参数进行估计得到：内部欺诈损失强度分布函数的参数估计值分别为ξ1=0.5181721，β1=8863.0354638；外部欺诈损失强度分布函数的参数估计值分别为ξ2=0.6270866，β2=4444.3780225。内部欺诈损失的样本数据中，超过阈值5000万的样本数据个数为126个，低于阈值的样本数据个数占总体样本数据总量的91.82%。外部欺诈损失样本数据中，超过阈值1000万的样本数据个数为195个，低于阈值的样本数据个数占总体样本数据总量的71.37%。上述参数即为内外部欺诈损失强度分布中广义Pareto分布的参数，为了对广义Pareto分布拟合样本数据尾部的效果进行验证，图6-7、6-8、6-9、6-10和图6-11、6-12、6-13、6-14分别给出了内部欺诈损失和外部欺诈损失样本数据的超阈值样本数据分布图、残差QQ图、残差图以及尾部分布图。

图6-7　内部欺诈损失的超阈值数据分布图

图6-8　内部欺诈损失的残差QQ图(www.xing528.com)

图6-9　内部欺诈损失的残差图

图6-10　内部欺诈损失的尾部分布图

图6-11　外部欺诈损失的超阈值数据分布图

图6-12　内部欺诈损失的残差QQ图

图6-13　外部欺诈损失的残差图

图6-14　外部欺诈损失的尾部分布图

由内部欺诈损失样本数据和外部欺诈损失样本数据的上述四种图形可以看出，广义帕累托分布对这两种数据的尾部拟合效果较好，且两种类型样本数据的阈值选择也是较为合理的。