混业经营金融风险度量的研究及方法

这一节主要介绍基于边际分布函数和上面介绍的三种二元Copula函数的总体损失分布函数的模拟算法和步骤。由于不同的二元Copula模型，其对应的模拟算法和步骤不一样，因此，下面分别给出对基于二元Gumbel Copula、二元Clayton Copula和二元t Copula的总体损失分布函数进行Monte Carlo模拟的算法和步骤。

通过计算可得，二元Gumbel Copula的阿基米德Copula算子φ=（-ln t）θ与服从稳定分布的正随机变量X（即X～St（1/θ，1，γ，0），其中的Laplace变换等价，因此可以首先通过下面的算法和步骤模拟得到二元Gumbel Copula的二维随机数：

（1）产生独立同分布的［0，1］上均匀分布的两个随机数序列，每个随机数序列均包含N个随机数，分别记为和。

（2）对给定的参数θ，产生随机变量X～St（1/θ，1，γ，0）的N个随机数，记为x=（x1，x2，…，xN）。

（3）分别令，，i=1，2，…，N。

（4）令，i=1，2，…，N，即可得到参数为θ的Gumbel Copula的N个二维样本数据u1，…，uN；在得到二元Gumbel Copula的二维随机数以后，接着利用牛顿迭代法的思想按照下面的算法和步骤分别对内部欺诈总体损失变量和外部欺诈总体损失变量进行模拟。

（6）对前面模拟产生的二维随机数，i=1，2，…，N中所有的第一个分量，i=1，2，…，N均采用步骤（5）中的方法找到其在分布函数中对应的x的值，分别记为，i=1，2，…，N。

（7）对二维随机数，i=1，2，…，N中的每个分量，i=1，2，…，N，均以，i=1，2，…，N作为初始值，并按照步骤（5）中的方法得到其在分布函数^G（y）中对应的y的值。记为，i=1，2，…，N。

（8）通过上面的步骤，最后分别得到X和Y的N个随机数，i=1，2，…，N和。由上述步骤及模拟方法可知，令，i=1，2，…，N，则其为具有Gumbel Copula的二维随机变量S=（X，Y）的N个二维随机数。

通过上面的步骤即可得到联合分布函数的Copula为Gumbel Copula的内部欺诈总体损失变量和外部欺诈总体损失变量的样本数据，再根据这些样本数据和的经验分布函数即可得到最后总体损失分布对应的VaR值，也即总体的操作风险值。

同样的，对基于二元Clayton Copula的模型进行模拟时，首先也是对二元Clayton Copula进行模拟，得到其二维样本数据，再按照上面类似的步骤得到最终的操作风险值。通过计算可得，二元Clayton Copula的阿基米德Copula算子等价于服从伽马分布的随机变量X（即X～Ga（1/θ，1））的Laplace变换。故可以通过下面的步骤来对其进行模拟：

（1）产生独立同分布的［0，1］上均匀分布的两个随机数序列，每个随机数序列均包含N个随机数，分别记为和。

（2）对给定的参数θ，产生随机变量X～Ga（1/θ，1）的N个随机数，记为x=（x1，x2，…，xN）。(www.xing528.com)

（3）分别令，，i=1，2，…，N。

（4）令，i=1，2，…，N，即可得到参数为θ的Clayton Copula的N个二维样本数据u1，u2，…，uN。

在得到二元Gumbel Copula的二维随机数以后，仍根据牛顿迭代法的思想，按照下面的步骤和算法得到内部欺诈总体损失变量和外部欺诈总体损失变量的样本数据。

（6）对前面模拟产生的二维随机数，i=1，2，…，N中所有的第一个分量，i=1，2，…，N均采用步骤（5）中的方法找到其在分布函数中对应的x的值，分别记为，i=1，2，…，N。

（7）对二维随机数，i=1，2，…，N中的每个分量，i=1，2，…，N，均以，i=1，2，…，N作为初始值，并按照步骤（5）中的方法得到其在分布函数中对应的y的值。记为，i=1，2，…，N。

（8）通过上面的步骤，最后分别得到X和Y的N个随机数，i=1，2，…，N和，i=1，2，…，N。由上述步骤及模拟方法可知，令，），i=1，2，…，N，则其为具有Gumbel Copula的二维随机变量S=（X，Y）的N个二维随机数。

通过上面的步骤即可得到联合分布函数的Copula为Clayton Copula的内部欺诈总体损失变量和外部欺诈总体损失变量的样本数据，再根据这些样本数据和的经验分布函数即可得到最后总体损失分布对应的VaR值，也即总体的操作风险值。

下面介绍对基于二元t Copula的总体损失分布模型进行模拟的算法和步骤。首先，通过下面的算法和步骤对二元t Copula进行模拟：

（1）对给定的ν和相关系数矩阵，生成随机变量X～t2（ν，0，）的N个二维随机数，i=1，2，…，N；

（2）对上面得到N个二维样本数据，分别令，i=1，2，…，N；

（3）令，i=1，2，…，N，即可得到参数为ν和的t Copula的N个二维样本数据u1，u2，…，uN。

接下来利用跟其他两种模型下相同的模拟算法和步骤，分别得到内部欺诈总体损失变量和外部欺诈总体损失变量的样本数据。根据该模拟的算法和步骤可知，得到的内部欺诈总体损失样本数据和外部欺诈总体损失样本数据，可以看成是来自联合分布函数的Copula为t Copula的两个随机变量。因此，根据这些样本数据和的经验分布函数可以得到总体损失操作风险的VaR值。具体的步骤与其他两种模型下模拟算法中的步骤（5）到（8）相同，这里就不再赘述。