混业经营下金融风险度量的参数估计算法和步骤

对操作风险总体损失分布函数的参数估计包括对内、外部欺诈损失强度分布函数和内、外部欺诈损失频度分布函数参数的估计（即二元Copula模型下边际分布函数中各参数的估计），以及二元Copula函数参数的估计。在对边际分布中各参数进行估计的过程中，首先利用Hill图和超阈值期望图形相结合的方法分别得到阈值u1和u2，再分别根据内部欺诈导致的操作风险损失历史数据和外部欺诈导致的操作风险损失的历史数据，利用极大似然估计法得到内部欺诈损失强度分布函数中参数ξ1，β1和外部欺诈损失强度分布函数中参数ξ2，β2的估计值。对内、外部欺诈损失频度的分布函数中参数λ1和λ2的估计，则根据矩估计法，分别利用内部欺诈和外部欺诈一年期损失次数历史数据的平均值来代替。最后根据各参数的估计值，得到内部欺诈总体损失分布函数和外部欺诈总体损失分布函数，也即二元Copula模型下两个边际分布函数的解析式。

得到边际分布函数的解析式后，要通过操作风险总体损失分布函数的解析式得到总体操作风险的VaR值，就要先通过样本数据得到各不同二元Copula函数的参数估计值。对不同二元Copula函数的参数进行估计的方法不同，下面分别对二元t Copula和二元Gumbel Copula中各参数的估计进行介绍。首先，对二元t Copula的参数进行估计的方法和步骤如下：

（1）根据前面利用极大似然估计法得到的边际分布函数（也即内部欺诈总体损失分布函数和外部欺诈总体损失分布函数）中各参数的估计值，即可得到边际分布函数的近似解析式。分别利用分布函数对一年期内部欺诈总体损失的样本数据和一年期外部欺诈总体损失的样本数据进行转换，得到转换后的服从［0，1］上均匀分布的边际分布样本数据，分别记为，其中T表示总体损失样本数据的个数；

（2）对二元t Copula函数给定一个自由度ν；

（3）再次对第一步中得到的边际分布样本数据进行转换，得到新的分布函数为正态分布的边际分布样本数据分别为，i=1，2，…，T｝和，i=1，2，…，T｝，其中Φ-1表示单变量标准正态分布函数的反函数，令

其中，。

（4）根据前面给定的自由度ν，分别利用，i=1，2，…，T和，i=1，2，…，T（其中，表示自由度为ν的单变量t分布函数的反函数）得到经过变换后的分布函数为t分布的边际分布样本数据和，再令

其中，。

（5）令(www.xing528.com)

其中，i，k=1，2，表示矩的第i行和第k列对应的元素。经过上述计算以后，矩阵的对角线元素均为1。

（6）重复步骤4和步骤5，使得当j充分大时，满足，记此时的为。按照该条件即可得到给定自由度ν的情况下，二元t Copula参数中相关系数矩阵ρ的估计值为^ρ。

（7）根据上面估计得到的相关系数矩阵的估计值，利用最大似然估计法，得到二元t Copula参数中自由度ν的估计值^ν。

下面介绍对二元Gumbel Copula中各参数进行估计的方法和步骤：

（1）与上述二元t Copula参数估计中的步骤一相同，得到服从［0，1］上均匀分布的边际分布样本数据，分别记为和2，…，T｝，其中T表示总体损失样本数据的个数；

（2）对二元Gumbel Copula的参数进行估计的方法有很多，我们可以根据其函数的表达式，利用极大似然估计法、Kendall'sτ逆或者Spearman's ρ逆等方法得到二元Gumbel Copula中各参数的估计值。

由于二元Clayton Copula与二元Gumbel Copula均属于二元阿基米德Copula类，因此，对二元Clayton Copula中各参数的估计与对二元Gumbel Copula中各参数的估计方法相同，这里就不再赘述。在得到上述几种二元Copula函数中各参数的估计值以后，要得到最后的操作风险VaR值，还要利用蒙特卡洛模拟的方法，根据得到的边际分布函数和二元Copula函数表达式，对总体损失的分布函数进行模拟，再根据模拟的样本数据得到最后操作风险的值。下面介绍在边际分布函数和二元Copula函数的基础上对总体损失的分布函数进行模拟的算法和步骤。